4.1 Vorbereitungen 159
Α ∈ GFORM, so dass (i, rSei Απ) ∈ VANS(A2) und (j, rSei Α^l) ∈ VANS(A2). Dann
ware jedoch auch IVANS(A2)I > IVAN(A2)I. Also ist IVANS(A3)I ≤ IVAN(A3)I und damit
mit Theorem 2-76 insgesamt IVANS(A3)I = IVAN(A3)I∙
Sei A(Amax(Dom(VANS(A)))) ∉ VAN(A2)∙ Sei nun A4 = A'D(0, rSei A(Amax(Dom(VANS(A))))D.
Dann ist A4 ∈ AF(A2)∙ Dann ist mit Theorem 3-15-(viii) VAN(A4) = VAN(A2) и
{A(Amax(Dom(VANS(A))))} ⊆ VAN(A) und es ist K(A4) = A(Amax(Dom(VANS(A)))) und
∣VANS(A4)∣ = ∣VAN(A4)∣∙ Letzteres ergibt sich wie folgt:
Zunachst ist ∣VAN(A2)∣ = ∣VANS(A2)∣ und I{A(Amax(Dom(VANS(A))))}I = I{(Dom(A2), rSei
A( Amax(Dom(VANS(A)))DR Femer ist VANS(A2) ∩ {(Dom(A2), rSei A(Amax(Dom(VANS(A))))D
= 0 und VAN(A2) ∩ {A(Amax(Dom(vANs(A))))} = 0. Damit ist dann mit Theorem 3-15-(iv)
und -(viii):
IVANS(A4)I = ∣VANS(A2) U {(Dom(A2), rSei A(Amax(Dom(VANS(A))))DI
= ∣VANS(A2)∣+∣{(Dom(A2), rSei A(Am m . )■)}
= |VAN(A2)|+|{A(Amax(Dom(VANS(A))))}I
= ∣VAN(A2) u {A(Amax(Dom(VANS(A))))}I
= IVAN(A4)I.
Sodann gilt mit Theorem 3-15-(vi), dass {A(Amax(Dom(VANS(A)))), rA(Amax(IDom(VANS(A)))) →
K(A)^l} ⊆ VER(A4)∙ Damit ist A5 = A'l"~" {(0, rAlso K(A)D ∈ SBF(A4) und mit
Theorem 3-27-(v) VAN(A5) ⊆ VAN(A4) ⊆ VAN(A) und K(A5) = K(A) und IVANS(A5)I
= IVAN(A5)I. Letzteres ergibt sich wie oben fur IVANS(A3)I = IVAN(A3)I unter Ruckgriff
auf IVANS(A4)I = IVAN(A4)I. ■
Das folgende Theorem dient insbesondere der Vorbereitung der Abgeschlossenheit unter
SE (Theorem 4-18-(i)).
Theorem 4-2. SE-Vorbereitungstheorem
Wenn A ∈ RGS∖{0} und Γ ∈ GFORM, dann gibt es ein A* ∈ RGS∖{0}, so dass
(i) VAN(A*) ⊆ VAN(A),
(ii) K(A*) = K(A) und
(iii) Fur alle i ∈ Dom(VANS(A*)): Wenn A(A*i) = Γ, dann i = max(Dom(VANS(A*)))∙
Beweis: Sei A ∈ RGS∖{0} und Γ ∈ GFORM. Dann ist Γ ∉ VAN(A) oder Γ ∈ VAN(A).
Sei Γ ∉ VAN(A). Dann ist A selbst ein solches A* ∈ RGS∖{0}, so dass (i), (ii) und trivi-
alerweise (iii) gelten. Sei nun Γ ∈ VAN(A). Der Beweis wird mittels Induktion uber