160 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft
∣VANS(T)∣ gefuhrt. Sei ∣VANS(T)∣ = 0. Mit Theorem 2-77 folgt entgegen der Annahme
∣VAN(T)∣ = 0, womit die Behauptung trivial gilt.
Sei nun ∣VANS(T)∣ = k ≠ 0. Gelte die Behauptung fur alle T' ∈ RGS∖{0} mit
∣VANS(T')∣ < k. Dann gibt es mit Theorem 4-1 ein T1 ∈ RGS∖{0}, so dass VAN(T1) ⊂
VAN(T), K(T1) = K(T) und ∣VANS(T1)∣ = ∣VAN(T1)∣ ≤ ∣VAN(T)∣ ≤ ∣VANS(T)∣. Sodann
gilt mit ∣VANS(T1)∣ = ∣VAN(T1)∣ fur alle Β ∈ VAN(T1): Es gibt genau ein i ∈
Dom(VANS(T1)), so dass Β = A(Ti). Angenommen, fur alle i ∈ Dom(VANS(T1)): Wenn
A(T1i) = Γ, dann i = max(Dom(VANS(T1))). Dann ist T1 das gesuchte Element von
RGS\{0}.
Gelte nun nicht fur alle i ∈ Dom(VANS(T1)): Wenn A(T1i) = Γ, dann i =
max(Dom(VANS(T1))). Dann gibt es ein i ∈ Dom(VANS(T1)), so dass A(T1i) = Γ und i
≠ max(Dom(VANS(T1))). Dann ist VANS(T1) ≠ 0 und Γ ∈ VAN(T1) und es gilt fur alle
j ∈ Dom(VANS(T1)): Wenn A(Tj) = Γ, dann j = i und damit auch j ≠
max(Dom(VANS(T1))). Damit ist A(T1max(Dom(VANS(T1)))) ≠ Γ. Sodann gilt mit VANS(T1)
≠ 0, Theorem 3-18 und K(T1) = K(T): T2 = T1 ^{(0, rAlso Α(T1max(Dom(VANS(T1)))) →
K(T)π)} ∈ SEF(T1). Dann gilt mit Theorem 3-22, dass VAN(T2) ⊆
VAN(T1)∖{Α(T1max(Dom(VΛNS(T⅝)} ⊆ VAN(T). Mit Theorem 3-19-(iv) und (v) gilt so-
dann ∣VANS(T2)∣ < ∣VANS(T1)∣ ≤ ∣VANS(T)∣ und es gilt: ∣VANS(T2)∣ = ∣VAN(T2)∣.
Letzteres ergibt sich wie folgt:
Ware ∣VANS(T2)∣ > ∣VAN(T2)∣. Dann gabe es i, j ∈ Dom(T2) mit i ≠ j und Α ∈
GFORM, so dass (i, rSei Α^l) ∈ VANS(T2) und (j', rSei Α^l) ∈ VANS(T2). Da mit
Theorem 3-19-(v) VANS(T2) ⊆ VANS(T1) gabe es damit i, j ∈ Dom(T1) mit i ≠ j und Α
∈ GFORM, so dass (i, rSei Α^l) ∈ VANS(T1) und (j', rSei Α^l) ∈ VANS(T1). Dann ware
jedoch auch ∣VANS(T1)∣ > ∣VAN(T1)∣. Also ist ∣VANS(T2)∣ ≤ ∣VAN(T2)∣ und damit mit
Theorem 2-76 insgesamt ∣VANS(T2)∣ = ∣VAN(T2)∣.
Nun ist ∣VANS(T2)∣ < ∣VANS(T1)∣ ≤ ∣VANS(T)∣ = k. Damit gibt es nach I.V. ein T3 ∈
RGS∖{0}, so dass VAN(T3) ⊆ VAN(T2) und K(T3) = K(T2) und fur alle i ∈
Dom(VANS(T3)): Wenn A(T3i) = Γ, dann i = max(Dom(VANS(T3))). Dann ist VAN(T3)
⊆ VAN(T2) ⊆ VAN(T1) ⊆ VAN(T), Α(T1max(Dom(VΛNS(T`)))) ∉ VAN(T3) und K(T3) =
rΑ(T1max(Dom(vлNS(τ')))) → K(T)^l. Dann lassen sich mit Γ ∈ VAN(T3) oder Γ ∉ VAN(T3)
zwei Falle unterscheiden:
Erster Fall: Γ ∈ VAN(T3). Dann ist Γ = A(T3max(Dom(vANS(T3)))) und fur alle i ∈
Dom(VANS(T3)): Wenn Γ = A(Ti), dann i = max(Dom(VANS(T3))). Dann ist mit