4.1 Vorbereitungen 161
Theorem 3-18 £4 = £3~{(0, rAlso Γ → (Α^1max(Dom(VANSc¾1)))) → K(£))n } ∈ SEF(£3).
Dann ergibt sich mit Theorem 3-22, dass VAN(£4) ⊆ VAN(£3)\{Γ} ⊆ VAN(£). Also
gilt Γ ∉ VAN(£4) und damit, dass fur alle i ∈ Dom(VANS(£4)): A(£4i) ≠ Γ.
Sei nun £5 = £4~{(0, rSei Α(^1max(Dom(VANS(⅛1))))π), (1, rSei Γπ)}. Dann ist zunachst £5
∈ ΛFW4(0, rSei A(£1max(Dom(VANS(£1))))n)}) Und £4~{(0, rSei A(£1max(Dom(VΛNS(,¾1))))^l )}
∈ AF(£4). Sodann gilt wegen A(£4i) ≠ Γ fur alle i ∈ Dom(VANS(£4)) und Γ ≠
A(£ 1max(Dom(VANS(£1)))) mit Theorem 3-15-(iv) fur alle i ∈ Dom(VANS(£5)): A(£5i) = Γ
gdw i = max(Dom(VANS(£5))). Sodann ist mit Theorem 3-15-(viii) VAN(£5) ⊆
VAN(£4) ∪ {Γ, A(£1max(Dom(VANS(£1))))} ⊆ VAN(£). Ferner ist mit Theorem 3-15-(vi) {Γ,
A(£ max(Dom(VANS(£1)))), ,"γ → (A(£1max(Dom(VANS(£1)))) → K(£))^ } ⊆ VER(£5) U∏d mit
Theorem 3-15-(iv) ist (Dom(£4), rSei A(£1max(Dom(VANSC¾1))))^l ) ∈ VANS(£5).
Dann ist £6 = £5^{(0, rAlso A(£1max(Dom(VANS(£1)))) → K(£f)} ∈ SBF(£5) und mit
Theorem 3-27-(v) gilt VAN(£6) ⊆ VAN(£5) ⊆ VAN(£). Sodann gilt fur alle i ∈
Dom(VANS(£6)): Wenn A(£6i) = Γ, dann i = max(Dom(VANS(£6))). Letzteres ergibt
sich wie folgt:
Gabe es ein i ∈ Dom(VANS(£6)), so dass A(£6i) = Γ und i ≠ max(Dom(VANS(£6))).
Mit Theorem 3-27-(ii) gilt dann i ∈ Dom(VANS(£5)). Dann ist i =
max(Dom(VANS(£5))) = Dom(£4)+1. Nach Konstruktion von £6 ist jedoch
max(Dom(VANS(£6))) ≤ Dom(£4)+1 = i und also mit i ≠ max(Dom(VANS(£6))) insge-
samt max(Dom(VANS(£6))) < i. Andererseits ist mit i ∈ Dom(VANS(£6)) jedoch i ≤
max(Dom(VANS(£6))). Widerspruch!
Sodann ist rA(£1max(Dom(VANS(£1)))) → K(£)n = K(£6) ∈ VER(£6). Ware nun
A(£1max(Dom(VANS(£1)))) ∉ VER(£6). Dann ware (Dom(£4), rSei A(£1max(Dom(VANS(£1))))n ) ∉
VANS(£6) und damit (Dom(£4), rSei ^-^W))))1) ∈ VANS(£5)\VANS(£6).
Mit Theorem 2-85 ware dann allerdings VANS(£5)\VANS(£6) =
{(max(Dom(VANS(£5))), £max(Dom(VANS(£5))))} = {(Dom(£4)+1, rSei Γ^,)} und also
Dom(£4) = Dom(£4)+1. Widerspruch!
Daher ist £7 = £6~{(0, rAlso K(££)} ∈ SBF(£6) und mit Theorem 3-27-(v) gilt
VAN(£7) ⊆ VAN(£6) ⊆ VAN(£). Ferner gilt mit Theorem 3-27-(ii) fur alle i ∈
Dom(VANS(£7)): Wenn A(£7i) = Γ, dann i = max(Dom(VANS(£7))). Damit ist £7 das
gesuchte Element von RGS∖{0}.
Zweiter Fall: Γ ∉ VAN(£3). Sei nun £8 = £3~{(0, rSei A(£1max(Dom(VANS(£1))))n )}. Dann
ist zunachst £8 ∈ AF(£3). Sodann ist mit Theorem 3-15-(viii) VAN(£8) = VAN(£3) ∪
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