Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



164  4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft

Nun zum Induktionsbeweis: Gelte die Behauptung fur k < Dom(ft') und seien ft, ft' wie
gefordert und sei α
KONST(TT(ft) и TT(ft')). Angenommen Dom(ft') = 0. Dann ist
ft' = 0 und mit ft* = ft~{(0, rSei α = α^l)} und Theorem 3-15-(ii) gilt die Behauptung. Sei
nun Dom(
ft') > 0. Dann ist ft' RGS{0}. Dann ist mit Theorem 3-6 ft'
RGF(ft'ΓDom(ft')-1) und ft'ΓDom(ft')-1 RGS. Sodann ist mit PAR TTSEQ(ft)
TTSEQ(ft') = 0 auch PAR TTSEQ(ft) TTSEQ(ftTDom(ft')-1) = 0 und mit α
KONST(TT(ft) и TT(ft')) ist auch α KONST(TT(ft) и TT(ftTDom(ft')-1)). Dann
gibt es nach I.V. fur
ft, ft'ΓDom(ft')-1 und α ein ft* RGS, fur das (i) bis (v) gelten.
Dann gilt:

i') Dom(ft*) = Dom(ft)+1+Dom(ft')-1 = Dom(ft)+Dom(ft'),

ii') ft*[^Dom(ft) = ft,

iii') ft*Dom(ft) = rSei α = α1,

iv') Fur alle i ∈ Dom(ft')-1 ist ft',: = (ft'[^Dom(ft')-1),; = ft*Dom(ft)+1+i,
v') Dom(VERS(
ft*)) =

Dom(VERS(ft)) и {Dom(ft)} и {(Dom(ft)+1+l | lDom(VERS(ft'fDom(ft')-1))}.

Sodann ergibt sich aus ft' RGF(ft'ΓDom(ft')-1) mit Definition 3-18, dass ft'
AF(ft'ΓDom(ft')-1) oder ft' SEF(ft'ΓDom(ft')-1) oder ft' SBF(ft'ΓDom(ft')-1) oder ft'
KEF(ft'ΓDom(ft')-1) oder ft' KBF(ft'fDom(ft')-1) oder ft' BEF(ft'fDom(ft')-1)
oder
ft' BBF(ft'ΓDom(ft')-1) oder ft' AEF(ft'ΓDom(ft')-1) oder ft'
ABF(ft'ΓDom(ft')-1) oder ft' NEF(ft'ΓDom(ft')-1) oder ft' NBF(ft'ΓDom(ft')-1) oder
ft' UEF(ft'ΓDom(ft')-1) oder ft' UBF(ftTDom(ft')-1) oder ft' PEF(ft'fDom(ft')-1)
oder
ft' PBF(ft'ΓDom(ft')-1) oder ft' IEF(ft'ΓDom(ft')-1) oder ft'
IBF(ft'ΓDom(ft')-1). Nun sei vereinbart:

vi') ft+ = ft* и {(Dom(ft)+1+Dom(ft')-1, ft'Dom(ft')-1)}.

Dann gilt fur ft+ bereits ft+0 und (i) bis (iv). Nun wird gezeigt, dass sich fur die einzel-
nen Falle AF ... IBF jeweils ergibt, dass
ft+ RGS{0} und auch (v) gilt, womit ft+ dann
jeweils das gesuchte RGS-Element ist. Zunachst ist zu bemerken, dass wegen α

KONST(TT(ft) и TT(ft')) gilt, dass es kein l ∈ Dom(ft*) Dom(ft+) gibt, so dass l
Dom(
ft) und rα = α^l TA(ft+l). Damit gilt mit ft*Dom(ft) = ft+Dom(ft) = rSei α = α^l und
Theorem 4-3:

vii') Es gibt keinen geschlossenen Abschnitt 21. in ft+ und es gibt keinen geschlossenen
Abschnitt 21. in
ft*, so dass min(Dom(^)) ≤ Dom(ft) < max(Dom(2l.)).



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