Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

164  4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft

Nun zum Induktionsbeweis: Gelte die Behauptung fur k < Dom(ft') und seien ft, ft' wie
gefordert und sei α ∈ KONST∖(TT(ft) и TT(ft')). Angenommen Dom(ft') = 0. Dann ist
ft' = 0 und mit ft* = ft~{(0, ^rSei α = α^^l)} und Theorem 3-15-(ii) gilt die Behauptung. Sei
nun Dom(ft') > 0. Dann ist ft' ∈ RGS∖{0}. Dann ist mit Theorem 3-6 ft' ∈
RGF(ft'ΓDom(ft')-1) und ft'ΓDom(ft')-1 ∈ RGS. Sodann ist mit PAR ∩ TTSEQ(ft) ∩
TTSEQ(ft') = 0 auch PAR ∩ TTSEQ(ft) ∩ TTSEQ(ftTDom(ft')-1) = 0 und mit α ∈
KONST∖(TT(ft) и TT(ft')) ist auch α ∈ KONST∖(TT(ft) и TT(ftTDom(ft')-1)). Dann
gibt es nach I.V. fur ft, ft'ΓDom(ft')-1 und α ein ft* ∈ RGS, fur das (i) bis (v) gelten.
Dann gilt:

i') Dom(ft*) = Dom(ft)+1+Dom(ft')-1 = Dom(ft)+Dom(ft'),

ii') ft*[^Dom(ft) = ft,

iii') ft*Dom(ft) = rSei α = α¹,

iv') Fur alle i ∈ Dom(ft')-1 ist ft',_: = (ft'[^Dom(ft')-1),; = ft*Dom(ft)+1+i,
v') Dom(VERS(ft*)) =

Dom(VERS(ft)) и {Dom(ft)} и {(Dom(ft)+1+l | l ∈ Dom(VERS(ft'fDom(ft')-1))}.

Sodann ergibt sich aus ft' ∈ RGF(ft'ΓDom(ft')-1) mit Definition 3-18, dass ft' ∈
AF(ft'ΓDom(ft')-1) oder ft' ∈ SEF(ft'ΓDom(ft')-1) oder ft' ∈ SBF(ft'ΓDom(ft')-1) oder ft'
∈ KEF(ft'ΓDom(ft')-1) oder ft' ∈ KBF(ft'fDom(ft')-1) oder ft' ∈ BEF(ft'fDom(ft')-1)
oder ft' ∈ BBF(ft'ΓDom(ft')-1) oder ft' ∈ AEF(ft'ΓDom(ft')-1) oder ft' ∈
ABF(ft'ΓDom(ft')-1) oder ft' ∈ NEF(ft'ΓDom(ft')-1) oder ft' ∈ NBF(ft'ΓDom(ft')-1) oder
ft' ∈ UEF(ft'ΓDom(ft')-1) oder ft' ∈ UBF(ftTDom(ft')-1) oder ft' ∈ PEF(ft'fDom(ft')-1)
oder ft' ∈ PBF(ft'ΓDom(ft')-1) oder ft' ∈ IEF(ft'ΓDom(ft')-1) oder ft' ∈
IBF(ft'ΓDom(ft')-1). Nun sei vereinbart:

vi') ft⁺ = ft* и {(Dom(ft)+1+Dom(ft')-1, ft'Dom(ft')-1)}.

Dann gilt fur ft⁺ bereits ft⁺ ≠ 0 und (i) bis (iv). Nun wird gezeigt, dass sich fur die einzel-
nen Falle AF ... IBF jeweils ergibt, dass ft⁺ ∈ RGS∖{0} und auch (v) gilt, womit ft⁺ dann
jeweils das gesuchte RGS-Element ist. Zunachst ist zu bemerken, dass wegen α ∈
KONST∖(TT(ft) и TT(ft')) gilt, dass es kein l ∈ Dom(ft*) ⊂ Dom(ft⁺) gibt, so dass l ≠
Dom(ft) und rα = α^^l ∈ TA(ft⁺_l). Damit gilt mit ft*D_om(_ft) = ft⁺D_om(_ft) = rSei α = α^^l und
Theorem 4-3:

vii') Es gibt keinen geschlossenen Abschnitt 21. in ft⁺ und es gibt keinen geschlossenen
Abschnitt 21. in ft*, so dass min(Dom(^)) ≤ Dom(ft) < max(Dom(2l.)).

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