194 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft
k) Fur alle i < k: K(V4fDom(V3)+i+1) = rΛξ,,+ι ... Λξ*-1[<βo, ..., βi>, <ξ□, ..., ξ>, ΔΓ
і) Э) = [<β0, ....lω.<b. ...Λ.j>,∆].
Dann gilt zum einen, dass K(V') = [<βo, ..., β⅛-ι>, <ξo, ..., ξ⅛-ι>, Δ] = K(V4) ∈ VER(V4).
Sodann gilt: V4Dom(V) = V3Dom(V) = rSei α = α1. Da sodann α ∈ KONST∖(TT(V) ∪
TT(V2)) und damit α ∉ TT(Δ) und da PAR ∩ KONST = 0, ergibt sich mit a), b), c), d),
h), i), k) und l), dass fur alle l ∈ Dom(V4) gilt:
α ∈ TT(V4l) gdw l = Dom(V).
Damit gilt mit V4Dom(V) ∈ ANS(V4) und Theorem 4-3: Es gibt keinen geschlossenen Ab-
schnitt M in V4, so dass mιn(Dom(M)) ≤ Dom(V) ≤ max(Dom(^)). Ware nun `d ein ge-
schlossener Abschnitt in V4 und mιn(Dom(M)) ≤ Dom(V)-1 < max(Dom(^)), dann ware
mιn(Dom(M)) ≤ Dom(V) ≤ max(Dom(^)). Also gibt es keinen geschlossenen Abschnitt
M in V4, so dass mm( Dom(M)) ≤ Dom(V)-1 < max(Dom(M)) und damit ist dann
A(⅛4Dom(⅛)-ι) = K(V) ∈ VER(V4). Ferner ist K(V') = K(V4) ∈ VER(V). Damit gibt es mit
Theorem 4-7 ein V5 ∈ RGS∖{0}, so dass VAN(V5) ⊆ VAN(V1)M Га = α^l} ⊆ (VAN(V)
∪ {α = α})∖{ rα = α^l} ⊆ VAN(V) und K(V), K(V') ∈ VER(V5). ■
Theorem 4-14. SB-, KE-, BE-, BB- undIB-Vorbereitungstheorem
Wenn V, V' ∈ RGS∖{0}, dann gibt es ein V* ∈ RGS∖{0}, so dass
(i) K(V), K(V') ∈ VER(V*) und
(ii) VAN(V*) ⊆ VAN(V) ∪ VAN(V').
Beweis: Beweis durch Induktion uber ∣VANS(V')∣. Fur ∣VANS(V')∣ = 0 gilt die Behaup-
tung mit Theorem 4-13. Gelte die Behauptung nun fur n und seien V, V' ∈ RGS∖{0} und
∣VANS(V')∣ = n+1. Dann ist mit Theorem 3-18 V1 = V'~{(0, rAlso A(V'max(Dom(VANS(V')))
→ K(V')^l)} ∈ SEF(V') ⊆ RGS∖{0} und mit Theorem 3-19-(iv) und (v) ist ∣VANS(V1)∣ =
n und mit Theorem 3-19-(ix) ist VAN(V1) ⊆ VAN(V'). Mit I.V. gilt dann, dass es ein V2
∈ RGS∖{0} gibt, so dass:
a) K(V), K(V1) ∈ VER(V2) und
b) VAN(V2) ⊆ VAN(V) ∪ VAN(V1) ⊆ VAN(V) ∪ VAN(V').
Folgende Sequenzen seien nun definiert, wobei α ∈ KONST∖TTSEQ(V2):
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