Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

194   4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft

k) Fur alle i < k: K(V4fDom(V³)+i+1) = ^rΛξ,,+ι ... Λξ*-1[<βo, ..., β_i>, <ξ□, ..., ξ>, ΔΓ
і)    Э) = [<β0, ...._lω.<_b. ...Λ._j>,∆].

Dann gilt zum einen, dass K(V') = [<βo, ..., β⅛-ι>, <ξo, ..., ξ⅛-ι>, Δ] = K(V4) ∈ VER(V4).
Sodann gilt: V⁴_Dom(_V) = V³_Dom(_V) = ^rSei α = α¹. Da sodann α ∈ KONST∖(TT(V) ∪
TT(V2)) und damit α ∉ TT(Δ) und da PAR ∩ KONST = 0, ergibt sich mit a), b), c), d),
h), i), k) und l), dass fur alle l ∈ Dom(V⁴) gilt:

α ∈ TT(V⁴_l) gdw l = Dom(V).

Damit gilt mit V⁴_Dom(_V) ∈ ANS(V⁴) und Theorem 4-3: Es gibt keinen geschlossenen Ab-
schnitt M in V4, so dass mιn(Dom(M)) ≤ Dom(V) ≤ max(Dom(^)). Ware nun `d ein ge-
schlossener Abschnitt in V⁴ und mιn(Dom(M)) ≤ Dom(V)-1 < max(Dom(^)), dann ware
mιn(Dom(M)) ≤ Dom(V) ≤ max(Dom(^)). Also gibt es keinen geschlossenen Abschnitt
M in V⁴, so dass mm( Dom(M)) ≤ Dom(V)-1 < max(Dom(M)) und damit ist dann
A(⅛⁴D_om(⅛)_-ι) = K(V) ∈ VER(V4). Ferner ist K(V') = K(V⁴) ∈ VER(V). Damit gibt es mit
Theorem 4-7 ein V⁵ ∈ RGS∖{0}, so dass VAN(V5) ⊆ VAN(V¹)M Га = α^^l} ⊆ (VAN(V)
∪ {α = α})∖{ rα = α^^l} ⊆ VAN(V) und K(V), K(V') ∈ VER(V5). ■

Theorem 4-14. SB-, KE-, BE-, BB- undIB-Vorbereitungstheorem

Wenn V, V' ∈ RGS∖{0}, dann gibt es ein V* ∈ RGS∖{0}, so dass

(i)   K(V), K(V') ∈ VER(V*) und

(ii) VAN(V*) ⊆ VAN(V) ∪ VAN(V').

Beweis: Beweis durch Induktion uber ∣VANS(V')∣. Fur ∣VANS(V')∣ = 0 gilt die Behaup-
tung mit Theorem 4-13. Gelte die Behauptung nun fur n und seien V, V' ∈ RGS∖{0} und
∣VANS(V')∣ = n+1. Dann ist mit Theorem 3-18 V¹ = V'~{(0, rAlso A(V'max(Dom(VANS(V')))
→ K(V')^^l)} ∈ SEF(V') ⊆ RGS∖{0} und mit Theorem 3-19-(iv) und (v) ist ∣VANS(V¹)∣ =
n und mit Theorem 3-19-(ix) ist VAN(V¹) ⊆ VAN(V'). Mit I.V. gilt dann, dass es ein V²
∈ RGS∖{0} gibt, so dass:

a)   K(V), K(V¹) ∈ VER(V²) und

b) VAN(V²) ⊆ VAN(V) ∪ VAN(V¹) ⊆ VAN(V) ∪ VAN(V').

Folgende Sequenzen seien nun definiert, wobei α ∈ KONST∖TTSEQ(V²):

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