196   4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft

4.2 Eigenschaften der deduktiven Konsequenzschaft

Nun werden ubliche Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft etabliert, wobei insbe-
sondere auch gezeigt wird, dass diese reflexiv (Theorem 4-15), monoton (Theorem 4-16),
unter Einfuhrung und Beseitigung der Iogischen Operatoren abgeschlossen (Theorem
4-18) und transitiv (Theorem 4-19) ist.

Theorem 4-15. Erweiterte Reflexivitat (AR)

Wenn X ⊆ GFORM und Α ∈ X, dann X H Α.

Beweis: Sei X ⊆ GFORM und Α ∈ X. Dann ist Α ∈ GFORM und nach Definition 3-1 ist

{(0, ^rSei Α^^l)} ∈ AF(0) ⊆ RGS∖{0} und es gilt, dass Α = K({(0, ^rSei Α^π)}) und
VAN({(0, rSei Α^^l)}) = {Α} ⊆ X. Also mit Theorem 3-12 X H Α. ■

Theorem 4-16. Monotonie

Wenn X H Β und X ⊆ Y ⊆ GFORM, dann Y H Β.

Beweis: Sei X H Β und X ⊆ Y ⊆ GFORM. Dann gibt es mit Theorem 3-12 ein A ∈
RGS∖{0}, so dass VAN(⅛) ⊆ X und K(.ħ) = Β. Dann ist VAN(⅛) ⊆ Y und damit Y H
Β. ■

Theorem 4-17. Principium non Contradictionis

Wenn X ∪ {Γ} ⊆ GFORM, dann X H r—(Γ ∧ -Γ)^,.

Beweis: Sei X ∪ {Γ} ⊆ GFORM. Sei nun .ħ die folgende Sequenz:

0   Sei   Γ ∧ —Γ

1   Also  Γ

2  Also  —Γ

3   Also  —(Γ ∧ —Γ)

Dann ist nach Definition 3-1 ⅛Γ1 ∈ AF(0) ⊆ RGS∖{0} und mit Theorem 3-15 ist
VERS(W) ={(0, rSei Γ ∧ -Γ^π)} = W und VER(W) = {T ∧ —Γ^π } und VANS(W)
= {(0, rSei Γ ∧ — Γ^l)}und VAN(⅛Γ 1) = {¹T ∧ —Γ^π }. Dann ist nach Definition 3-5 ⅛Γ2 ∈
KBF(⅛Γ1) ⊆ RGS∖{0}. Da nach Theorem 1-8 ¹T ∧ — Γ ∉ TF(Γ), gilt sodann nach
Definition 3-2, Definition 3-10 und Definition 3-15, dass ⅛Γ2 ∉ SEF(⅛Γ1) ∪ NEF(⅛Γ1)

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