Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



196   4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft

4.2 Eigenschaften der deduktiven Konsequenzschaft

Nun werden ubliche Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft etabliert, wobei insbe-
sondere auch gezeigt wird, dass diese reflexiv (
Theorem 4-15), monoton (Theorem 4-16),
unter Einfuhrung und Beseitigung der Iogischen Operatoren abgeschlossen (Theorem
4-18) und transitiv (Theorem 4-19) ist.

Theorem 4-15. Erweiterte Reflexivitat (AR)

Wenn XGFORM und Α X, dann X H Α.

Beweis: Sei XGFORM und Α X. Dann ist Α GFORM und nach Definition 3-1 ist

{(0, rSei Α^l)} AF(0) RGS{0} und es gilt, dass Α = K({(0, rSei Απ)}) und
VAN({(0,
rSei Α^l)}) = {Α} X. Also mit Theorem 3-12 X H Α. ■

Theorem 4-16. Monotonie

Wenn X H Β und X YGFORM, dann Y H Β.

Beweis: Sei X H Β und X Y GFORM. Dann gibt es mit Theorem 3-12 ein A ∈
RGS{0}, so dass VAN() X und K(.ħ) = Β. Dann ist VAN() Y und damit Y H
Β. ■

Theorem 4-17. Principium non Contradictionis

Wenn X {Γ} GFORM, dann X H r—∧ -Γ),.

Beweis: Sei X{Γ} GFORM. Sei nun .ħ die folgende Sequenz:

0   Sei   Γ ∧ —Γ

1   Also  Γ

2  Also  Γ

3   Also  ∧ —Γ)

Dann ist nach Definition 3-1 ⅛Γ1 AF(0) RGS{0} und mit Theorem 3-15 ist
VERS(W) ={(0,
rSei Γ ∧ -Γπ)} = W und VER(W) = {T ∧ —Γπ } und VANS(W)
= {(0,
rSei Γ ∧ — Γl)}und VAN(⅛Γ 1) = {1T ∧ —Γπ }. Dann ist nach Definition 3-5 ⅛Γ2
KBF(⅛Γ1) RGS{0}. Da nach Theorem 1-8 1T ∧ — Γ TF(Γ), gilt sodann nach
Definition 3-2, Definition 3-10 und Definition 3-15, dass
⅛Γ2 SEF(⅛Γ1) NEF(⅛Γ1)



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