4.2 Eigenschaften der deduktiven Konsequenzschaft 199
Β) und dass A(^3Dom№')) = Α ≠ r-(Α ∧ Β) = ■ Аш .. ) . Damit gilt mit Theorem
2-42, Definition 2-11, Definition 2-12 und Definition 2-13, dass fur alle k mit 1 ≤ k ≤ 3
gilt: Es gibt keinen geschlossenen Abschnitt A in .k fur den min(Dom(A)) = Dom(.').
Mit Theorem 2-47 gilt damit fur alle k mit 1 ≤ k ≤ 3: Es gibt keinen geschlossenen Ab-
schnitt A in .k fur den min(Dom(A)) ≤ Dom(.') ≤ max(Dom(A)). Damit ergibt sich
auch, dass fur alle k mit 1 ≤ k ≤ 3 gilt, dass Dom(.') = max(Dom(VANS(.k))). Mit
Theorem 3-19-(i), Theorem 3-20-(i), Theorem 3-21-(i) und Theorem 2-61 gilt dann, dass
fur alle k mit 2 ≤ k ≤ 3 gilt: .k ∉ SEF(.k-1) ∪ NEF(.k-1) ∪ PBF(.k-1).
Hingegen ist erstens nach Definition 3-1 .1 ∈ AF(.') ⊆ RGS∖{0} und mit Theorem
3-15 VERS(.1) = VERS(.') ∪ {(Dom(.'), rSei Απ)} und (Dom(.'), rSei Απ) ∈
VANS(.') ∪ {(Dom(.'), rSei Απ)} = VANS(.1) und Β ∈ VER(.') ⊆ VER(.1) und Α
∈ VER(.1). Also ist zweitens nach Definition 3-4 .2 ∈ KEF(.1) ⊆ RGS∖{0} und mit
Theorem 3-25 VERS(.2) = VERS(.1) ∪ {(Dom(.1), rAlso Α ∧ Β^l)}. Damit gilt
(Dom(.'), rSei Απ) ∈ VANS(.1) = VANS(.2) und rΑ ∧ Βπ ∈ VER(.2). Also ist drit-
tens nach Definition 3-5 .3 ∈ KBF(.2) ⊆ RGS∖{0} und mit Theorem 3-25 VERS(.3) =
VERS(.2) ∪ {(Dom(.2), rAlso Β^l)}. Damit gilt Dom(.') ∈ Dom(.3) und A(.3Dom(⅞')) =
Α und (Dom(.'), rSei Απ) ∈ VANS(.2) = VANS(.3) und A(.3Dom(.3)-1) = Β und es gibt
kein l mit Dom(.') < l ≤ Dom(.3)-1, so dass (l, .3l) ∈ VANS(.3). Damit ist nach
Definition 3-2 .4 ∈ SEF(.3) ⊆ RGS∖{0} und mit Theorem 3-19-(iv) und -(v) VANS(.4)
= VANS(.3)∖{(max(Dom(VANS(.3))), ш...... o... V . ... )} = VANS(.3)∖{(Dom(.'),
rSei Α^l)} = VANS(.1)∖{(Dom(.'), rSei Απ)} = (VANS(.') ∪ {(Dom(.'), rSei
Απ)})∖{(Dom(.'), rSei Α^l)} = VANS(.')∖{(Dom(.'), rSei Απ)} ⊆ VANS(.'). Mit
Theorem 2-75 ist dann VAN(.4) ⊆ VAN(.') und wegen Α ∉ VAN(.') und VAN(.') ⊆
VAN(.) ⊆ X dann auch VAN(.4) ⊆ VAN(.)∖{Α} ⊆ X∖{Α}. Da K(.4) = rΑ → Βπ,
gilt mit Theorem 3-12 X∖{Α} H га → Β^l.
Zu (ii) (SB), (iii) (KE), (v) (BE), (vii) (BB), (xviii) (IB): (ii) wird exemplarisch gezeigt.
Klauseln (iii), (v), (vii) und (xviii) ergeben sich analog. Sei fur (ii) X H Α und Y H га →
Β^l. Dann gibt es nach Theorem 3-12 ., .' ∈ RGS∖{0}, so dass VAN(.) ⊆ X und K(.)
= Α und VAN(.') ⊆ Y und K(.') = rΑ → 1Γ. Mit Theorem 4-14 gibt es dann ein .* ∈
RGS∖{0}, so dass Α, га → Βπ ∈ VER(.*) und VAN(.*) ⊆ VAN(.) ∪ VAN(.') ⊆ X
∪ Y. Nach Definition 3-3 ist dann .+ = ⅛*^{(0, rAlso Β^l)} ∈ SBF(.*) ⊆ RGS∖{0} und
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