Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



4.2 Eigenschaften der deduktiven Konsequenzschaft 199

Β) und dass A(^3Dom')) = Α ≠ r-Β) = Аш .. ) . Damit gilt mit Theorem
2-42, Definition 2-11, Definition 2-12 und Definition 2-13, dass fur alle
k mit 1 ≤ k ≤ 3
gilt: Es gibt keinen geschlossenen Abschnitt
A in .k fur den min(Dom(A)) = Dom(.').
Mit Theorem 2-47 gilt damit fur alle
k mit 1 ≤ k ≤ 3: Es gibt keinen geschlossenen Ab-
schnitt
A in .k fur den min(Dom(A)) ≤ Dom(.') ≤ max(Dom(A)). Damit ergibt sich
auch, dass fur alle
k mit 1 ≤ k ≤ 3 gilt, dass Dom(.') = max(Dom(VANS(.k))). Mit
Theorem 3-19-(i), Theorem 3-20-(i), Theorem 3-21-(i) und Theorem 2-61 gilt dann, dass
fur alle
k mit 2 ≤ k ≤ 3 gilt: .kSEF(.k-1) NEF(.k-1) PBF(.k-1).

Hingegen ist erstens nach Definition 3-1 .1 AF(.') RGS{0} und mit Theorem
3-15 VERS(
.1) = VERS(.') {(Dom(.'), rSei Απ)} und (Dom(.'), rSei Απ)
VANS(.') {(Dom(.'), rSei Απ)} = VANS(.1) und Β VER(.') VER(.1) und Α
VER(.1). Also ist zweitens nach Definition 3-4 .2 KEF(.1) RGS{0} und mit
Theorem 3-25 VERS(
.2) = VERS(.1) {(Dom(.1), rAlso Α Β^l)}. Damit gilt
(Dom(
.'), rSei Απ) VANS(.1) = VANS(.2) und rΑ ΒπVER(.2). Also ist drit-
tens
nach Definition 3-5 .3 KBF(.2) RGS{0} und mit Theorem 3-25 VERS(.3) =
VERS(
.2) {(Dom(.2), rAlso Β^l)}. Damit gilt Dom(.') Dom(.3) und A(.3Dom(')) =
Α und (Dom(
.'), rSei Απ) VANS(.2) = VANS(.3) und A(.3Dom(.3)-1) = Β und es gibt
kein
l mit Dom(.') < l ≤ Dom(.3)-1, so dass (l, .3l) VANS(.3). Damit ist nach
Definition 3-2
.4 SEF(.3) RGS{0} und mit Theorem 3-19-(iv) und -(v) VANS(.4)
= VANS(
.3){(max(Dom(VANS(.3))), ш...... o... V . ... )} = VANS(.3){(Dom(.'),
rSei Α^l)} = VANS(.1){(Dom(.'), rSei Απ)} = (VANS(.') {(Dom(.'), rSei
Α
π)}){(Dom(.'), rSei Α^l)} = VANS(.'){(Dom(.'), rSei Απ)} VANS(.'). Mit
Theorem 2-75 ist dann VAN(
.4) VAN(.') und wegen Α VAN(.') und VAN(.')
VAN(.) X dann auch VAN(.4) VAN(.){Α} X{Α}. Da K(.4) = rΑ Βπ,
gilt mit Theorem 3-12
X{Α} H гаΒ^l.

Zu (ii) (SB), (iii) (KE), (v) (BE), (vii) (BB), (xviii) (IB): (ii) wird exemplarisch gezeigt.
Klauseln (iii), (v), (vii) und (xviii) ergeben sich analog. Sei fur (ii)
X H Α und Y H га
Β^l. Dann gibt es nach Theorem 3-12 ., .' RGS{0}, so dass VAN(.) X und K(.)
= Α und VAN(
.') Y und K(.') = rΑ 1Γ. Mit Theorem 4-14 gibt es dann ein .*
RGS{0}, so dass Α, гаΒπVER(.*) und VAN(.*) VAN(.) VAN(.') X
Y. Nach Definition 3-3 ist dann .+ = *^{(0, rAlso Β^l)} SBF(.*) RGS{0} und



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