Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

202  4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft

Y H ^r(Γ л —Г) л —(Г л —Г)^п. Mit (i) ergibt sich sodann: (X и Y)∖{Α} H ^rΑ → ((Г л
—Г) л —(Г л —Г))^п. Damit gibt es mit Theorem 3-12 ein ft ∈ RGS∖{0}, so dass VAN(ft)
⊂ (X и Y)∖{Α} und K(ft) = ^rΑ → ((Γ л —Г) л —(Г л — Γ))^^l. Dann lasst sich ft wie folgt
zu einem ft⁵ ∈ SEQ mit ft⁵ΓDom(ft) = ft fortsetzen:

Zunachst ist ft⁵D_om(_ft) ∈ ASATZ. Nach Annahme ist sodann K(ft¹) = Α ≠ K(ft²). Mit
Theorem 1-8, Theorem 1-10 und Theorem 1-11 ist sodann K(ft²) ≠ K(ft³) und K(ft³) ≠
K(ft⁴). Zudem sind K(ft²) und K(ft³) weder Subjunktionen noch Negationen und K(ft⁴)
ist keine Subjunktion und nach Annahme ist K(ft⁴) = ^г—(Г л —Г)^п ≠ ^r∙.V. Damit gilt
mit Theorem 2-42, Definition 2-11, Definition 2-12 und Definition 2-13, dass fur alle k
mit 1 ≤ k ≤ 4 gilt: Es gibt keinen geschlossenen Abschnitt 21 in ft^k fur den min(Dom(2l))
= Dom(ft). Mit Theorem 2-47 gilt damit fur alle k mit 1 ≤ k ≤ 4: Es gibt keinen geschlos-
senen Abschnitt 21 in ft^k fur den mιn(Dom(2l)) ≤ Dom(ft) ≤ max(Dom(^)). Damit ergibt
sich auch, dass fur alle k mit 1 ≤ k ≤ 4 gilt, dass Dom(ft) = max(Dom(VANS(ft^k))). Mit
Theorem 3-19-(i), Theorem 3-20-(i), Theorem 3-21-(i) und Theorem 2-61 gilt dann fur al-
le k mit 2 ≤ k ≤ 4: ft^k ∉ SEF(ft^k-1) и NEF(ft^k-1) и PBF(ft^k-1).

Hingegen ist erstens nach Definition 3-1 ft¹ ∈ AF(ft) ⊂ RGS∖{0} und mit Theorem
3-15 VERS(ft¹) = VERS(ft) и {(Dom(ft), rSei Α∣)} und VANS(ft¹) = VANS(ft) и
{(Dom(ft), rSei Α∣)}, ΓΑ → ((Г л —Г) л —(Г л —Г))^п ∈ VER(ft) ⊆ VER(ft¹) und Α ∈
VER(ft¹). Also ist zweitens nach Definition 3-3 ft² ∈ SBF(ft¹) ⊂ RGS∖{0} und mit
Theorem 3-25 VERS(ft²) = VERS(ft¹) и {(Dom(ft¹), rAlso (Г л —Г) л —(Г л — Г)^п)}.
Damit gilt VANS(ft²) = VANS(ft¹) und г(Г л —Г) л —(Г л —Г)^п ∈ VER(ft²). Also ist
drittens nach Definition 3-5 ft³ ∈ KBF(ft²) ⊂ RGS∖{0} und mit Theorem 3-25
VERS(ft³) = VERS(ft²) и {(Dom(ft²), ^lso Г л —Г¹)}. Damit gilt VANS(ft³) =
VANS(ft²), г(Г л —Г) л —(Г л —Г)^п ∈ VER(ft²) ⊆ VER(ft³) und T л — Г ∈
VER(ft³). Also ist viertens nach Definition 3-5 ft⁴ ∈ KBF(ft³) ⊂ RGS∖{0} und mit
Theorem 3-25 VERS(ft⁴) = VERS(ft³) и {(Dom(ft³), rʌɪso —(Г л — Г)^п)}. Damit gilt

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