Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

4.2 Eigenschaften der deduktiven Konsequenzschaft 205

VERS(⅛⁴), A(^‰*)) = [β*, ξ, Δ] und (Domφ*), tf‰∙)) ∈ VANS(⅛⁴),
^A№ Dom(⅛^l)-1) = Γ, β* ∉ TTFM({Δ, Γ}) und es gibt kein j ≤ Dom(⅛*)-1, so dass β* ∈
TT(.ħ⁴ ) und es gibt kein m mit Dom(⅛*) < m ≤ Dom(⅛⁴)-1, so dass (m, ʃɔ⁴,,,) ∈
VANS(⅛⁴). Schlieβlich ist damit nach Definition 3-15 .ħ5 ∈ PBF(⅛⁴) ⊆ RGS∖{0} und
mit Theorem 3-21-(iv) und -(v) VΛNS(>'τ) = VANS(⅛⁴)∖{(max(Dom(VANS(⅛⁴))),
^⁵max(Dom(VANS(⅞4))))} = VANS(⅛⁴)∖{(Dom(⅛*), "Sei [β*, ξ, Δ]^π)} =
VANS(⅛¹)∖{(Dom(⅛*), "Sei [β*, ξ, Δ]^π)} = (VANS(⅛*) ∪ {(Dom(⅛*), "Sei [β*, ξ,
Δ]^π)})∖{(Dom(⅛*), "Sei [β*, ξ, Δ]^π)} = VANS(⅛*)∖{(Dom(⅛*), "Sei [β*, ξ, Δ]^π)} ⊆
VANS(⅛*). Mit Theorem 2-75 ist dann VAN(fy) ⊆ VAN(⅛*) ⊆ X ∪ (Y∖{[β, ξ, Δ]}).
Da K(A5) = Γ, gilt mit Theorem 3-12 X ∪ (Y∖{[β, ξ, Δ]}) H Γ.

Zu (xvii) (IE): Sei X ⊆ GFORM. Dann ist nach Definition 3-16 {(0, "Also θ₀ = θ₀^^l)} ∈
IE(0) ⊆ RGS∖{0} und es ist VANS({(0, "Also θ₀ = θ₀^^l)}) = 0 und somit nach Definition
2-31 VAN({(0, "Also θo = θo^π)}) = 0 und es ist K({(0, "Also θo = θoⁿ)}) = "θo = θo^π und
damit nach Theorem 3-12 0 H "θ₀ = θ₀^^l. Mit Theorem 4-16 gilt X H "θ₀ = θ₀^^l. ■

Theorem 4-19. Transitivitat

Wenn X _mH Y und Y H Β, dann X H Β.

Beweis: Zunachst wird durch Induktion uber | Y| gezeigt, dass die Behauptung fur alle
endlichen Y gilt: Gelte die Behauptung fur alle k < | Y| ∈ N. Sei | Y| = 0. Sei nun X _mH Y
und Y H Β. Dann ist Y = 0 ⊆ X ⊆ GFORM. Mit Theorem 4-16 folgt X H Β.

Sei nun 0 < | Y| und gelte X _mH Y und Y H Β. Dann ist nach Definition 3-25 X ∪ Y ⊆
GFORM und fur alle Δ ∈ Y gilt: X H Δ. Da | Y| ≠ 0, gibt es ein Α ∈ Y. Dann gilt mit
Theorem 4-18-(i), dass |Y\{A}| H "Α → Β^^l. Dann gilt |Y\{A}| < |Y|. Nach I.V. gilt damit
X H "Α → Β und, da Α ∈ Y, gilt auch X H Α. Mit Theorem 4-18-(ii) gilt damit X H Β.

Damit, dass die Behauptung fur endliches Y gilt, gilt sie dann auch fur alle: Gelte nam-
lich X _mH Y und Y H Β. Dann ist nach Definition 3-25 X ∪ Y ⊆ GFORM und fur alle Δ
∈ Y gilt: X H Δ. Gelte nun Y H Β. Dann gibt es mit Theorem 3-12 A ∈ RGS∖{0}, so
dass VAN(⅛) ⊆ Y und K(A) = Β. Dann ist nach Theorem 3-9 VAN(⅛) endlich und
VAN(⅛) ⊆ GFORM. Dann gilt wieder nach Theorem 3-12, dass VAN(⅛) H Β. Sodann

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