Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

4.2 Eigenschaften der deduktiven Konsequenzschaft 207

Theorem 4-23. Eine Aussagenmenge ist genau dann inkonsistent, wenn sich alle Aussagen
aus ihr ableiten lassen

X ist inkonsistent gdw fur alle Γ ∈ GFORM: X H Γ.

Beweis: (L-R): Sei zunachst X inkonsistent. Dann gilt nach Definition 3-24, dass X ⊆
GFORM und dass es Α ∈ GFORM gibt, so dass X H Α und X H ^r— .Α. Sei nun Γ ∈
GFORM. Dann ist ^r—Γ^^l ∈ GFORM. Dann gilt mit Theorem 4-16: X ∪ {^r—Γ^^l} H Α und
X ∪ {^r—Γ} H ^r—Α^^l. Damit ist X ∪ {^r—Γ^^l} inkonsistent. Damit gilt nach Theorem
4-22: X H Γ.

(R-L): Gelte nun fur alle Γ ∈ GFORM, dass X H Γ. Nun gibt es ein Δ ∈ GFORM. Dann
ist auch ^r—Δ^^l ∈ GFORM. Dann gilt also X H Δ und X H ^r—Δ^^l. Dann ist mit Definition
3-21 X ⊆ GFORM und somit gilt insgesamt nach Definition 3-24, dass X inkonsistent
ist. ■

Theorem 4-24. Generalisierungstheorem

Wenn ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, α ∈ KONST und X H [α, ξ, Δ], wobei α ∉
TTFM(X ∪ {Δ}), dann X H ^rΛξΔ^π

Beweis: Sei ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, α ∈ KONST und X H [α, ξ, Δ],
wobei α ∉ TTFM(X ∪ {Δ}). Dann gibt nach Theorem 3-12 ein S ∈ RGS∖{0}, so dass
VAN(S) ⊆ X und K(S) = [α, ξ, Δ]. Sodann gibt es ein β ∈ PAR∖TTSEQ(S). Mit
Theorem 4-9 gibt es dann ein S* ∈ RGS∖{0}, so dass:

a) α ∉ TTSEQ(S*),

b) VAN(S) = {[α, β, Β] | Β ∈ VAN(S*)} und
c)   K(S) = [α, β, K(S*)].

Da nun fur alle Γ ∈ VAN(S) gilt, dass α ∉ TT(Γ), gilt dann mit b), dass fur alle Β ∈
VAN(S*) gilt, dass β ∉ TT(Β) und damit β ∉ TTFM(VAN(S*)). Ware namlich β ∈
TT(Γ) fur ein Γ ∈ VAN(S*), dann ware α ∈ TT([α, β, Γ]) und mit b) ware [α, β, Γ] ∈
VAN(S) ⊆ X. Damit wurde aber im Gegensatz zur Voraussetzung gelten, dass α ∈
TTFM(X). Damit gilt mit b): VAN(S) = {[α, β, Β] | Β ∈ VAN(S*)} = {Β | Β ∈
VAN(S*)} = VAN(S*).

<<   180   181   182   183   184   185   186   >>

More intriguing information