Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



208   4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft

Sodann ist mit c) [α, ξ, Δ] = K(F) = [α, β, K(F*)]. Da nach Eingangsannahme und mit
a) gilt: α
TT(Δ) TT(K(F*) ist dann mit Theorem 1-23 K(F*) = [β, ξ, Δ]. Dann ist β
TT(Δ), denn sonst wurde wegen [α, ξ, Δ] = K(F) im Gegensatz zur Wahl von β gelten,
dass β
TT(K(F)) TTSEQ(F). Damit gilt dann insgesamt, dass F* {(Dom(F*),
rAlso ΛξΔ^l)} UEF(F*) RGS{0}. Damit gilt mit Theorem 3-26-(v) VAN(F*
{(Dom(F*), rʌlso ΛξΔ^l)}) VAN(F*) = VAN(F) X und Theorem 3-12, dass X H
ξΔπ. ■

Theorem 4-25. Mehrfache IB

Wenn k ∈ N∖{0}, {θo, ., θk}, {θ'o, ., θ'k} GTERM, {ξo, ., ξk} VAR, wobei fur
alle
i, j k mit i j auch ξi ≠ ξj∙, Δ FORM, wobei FV(Δ) 0, ., ξk-1}, und X H [<θ0, .,
θ
k>, <ξo, ., ξk>, Δ] und fur alle i k: X H ^. = θ7, dann X H [<θ'o, ., θ'k>, <ξo, ., ξk>,
Δ].

Beweis: Durch Induktion uber k. Fur k = 1 ergibt sich die Behauptung mit Theorem
4-18-(xviii). Gelte die Behauptung nun fur
k und sei {θo, ., θk}, {θ'o, ., θ'k}
GTERM, {ξo, ., ξk} VAR, wobei fur alle i, j k+1 mit i j auch ξi ≠ ξj, Δ FORM,
wobei FV(Δ)
o, ., ξfc}, und X H [<θo, ., θfc>, <ξo, ., ξfc>, Δ] und fur alle ik+1: X
H rθi = θ'ɔ.

Dann gilt mit Theorem 1-28-(ii), dass [<θo, ., θk>, <ξo, ., ξk>, Δ] = [θk, ξk, [<θ1, ., θk-1>,
<ξι, ., ξk>, Δ]] und damit dass X H , ξ, [<θι, ., θ4>, <ξι, ., ξk>, Δ]], wobei mit
FV(Δ)
o, ., ξfc} gilt: FV([<θι, ., θk>, <ξι, ., ξk>, Δ]) fc}. Dann gilt mit X H
r
θfc = θ? und Theorem 4-18-(xviii), dass X H [θ'k, ξk [<θo, ., θk>, <ξo, ., ξk>, Δ]] und
damit wieder mit Theorem 1-28-(ii), dass
X H [<θo, ., θk-1, θ'k>, <ξo, ., ξk-1, ξk>, Δ]. Dann
gilt mit Theorem 1-29-(ii): [
<θo, ., θk-1, θ'k>, <ξo, ., ξk-1, ξk>, Δ] = [<θo, ., θk-1>, <ξo, .,
ξ
k>, [θ'k, ξk, Δ]] und damit X H [<θo, ., θk4>, <ξo, ., ξk>, [θ'k, ξk, Δ]], wobei mit FV(Δ)
o, ., ξk} gilt: FV([θ'k, ξk, Δ]) o, ., ξk}. Damit gilt dann nach I.V., dass X H
[<θ'o, ., θ'k>, <ξo, ., ξk>, [θ'k, ξk, Δ]] und damit wiederum mit Theorem 1-29-(ii): X H
[<θ'o, ., θ'k>, <ξo, ., ξk>, Δ]. ■



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