Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

212   5 Modelltheorie

Definition 5-1. Interpretationsfunktion

I ist eine Interpretationsfunktion fur D
gdw

D ist eine Menge und I ist eine Funktion mit Dom(I) = KONST ∪ FUNK ∪ PRA und

(i) Fur alle α ∈ KONST: I (α) ∈ D,

(ii) Fur alle φ ∈ FUNK: Wenn φ r-stellig ist, dann ist I (φ) eine r-stellige Funktion uber
D,

(iii) Fur alle Φ ∈ PRA: Wenn Φ r-stellig ist, dann I (Φ) ⊆ ^rD, und

(iv)   I_r=η = {(a, a) | a ∈ d}.

Definition 5-2. Modell

M ist ein Modell

gdw

Es gibt D, I, so dass I eine Interpretationsfunktion fur D ist und M = (D, I).

Hinweis: Die Nicht-Leerheit von D wird wegen KONST ≠ 0 mit Klausel (i) von
Definition 5-1 gewahrleistet. Anders als ublich werden die Belegungsfunktionen nun
nicht uber VAR, sondern uber PAR defιniert - die Parameter ubernehmen also dem Kal-
kul entsprechend auch in der Modelltheorie die Aufgaben, die andernorts oft von freien
Variablen geleistet werden. Dementsprechend werden Quantorformeln (z. B. ^rΛξΔ^^l)
nicht fur Δ, sondern fur eine Parameterinstanz (z. B. [β, ξ, Δ]) ausgewertet (vgl.
Definition 5-7 und Theorem 5-4).

Definition 5-3. Belegung

b ist eine Belegung fur D
gdw

b ist eine Funktion mit Dom(b) = PAR und Ran(b) ⊆ D.

Definition 5-4. Belegungsvariante

b' ist in β eine Belegungsvariante von b fur D
gdw

b' und b sind Belegungen fur D und β ∈ PAR und b'∖{(β, b'(β))} ⊆ b.

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