Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

5.1 Erfullungsrelation und modelltheoretische Konsequenz 215

Theorem 5-3. Fur jedes Modell (D, I) gibt es genau eine Erfullungsfunktion
Wenn (D, I) ein Modell ist, dann gibt es genau eine Erfullungsfunktion fur D, I.

Beweis: Sei (D, I) ein Modell. Dann gibt es mit den Theoremen uber eindeutige Lesbar-
keit (Theorem 1-10 und Theorem 1-11) genau eine Funktion F auf GFORM × {b | b ist
eine Belegung fur D}, so dass Klauseln (i) bis (viii) von Definition 5-7 erfullt sind. Also
gibt es genau eine Erfullungsfunktion fur D, I. ■

Definition 5-8. Vierstelliger modelltheoretischer Erfullungspradikator (.., .., .., к ..)

D, I, b к Γ
gdw

Γ ∈ GFORM, b ist eine Belegung fur D und es gibt eine Erfullungsfunktion F fur D, I, so
dass F (Γ, b) = 1.

Das folgende Theorem spiegelt die ubliche Definition der modelltheoretischen Konse-
quenz im hier gewahlten grammatischen Rahmen wider. Dabei wird in der ublichen Wei-
se auf den zu '.., .., .. к ..' gehorenden Negatpradikator ('.., .., .. к ..') zuruckgegriffen.

Theorem 5-4. Ubliche Erfullungskonzeption

Wenn (D, I) ein Modell, b eine Belegung fur D, Α, Β ∈ GFORM, ξ ∈ VAR, Φ ∈ PRA, Φ r-
stellig, θ₀, .., θ_r-1 ∈ GTERM, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, dann:

(i)    D, I, b к ^rΦ(θo, . ., θr-ɪ)ɔ gdw <TD(θo, D, I, b), . ., TD(θr-ι, D, I, b)) ∈ I(Φ),

(ii)   D, I, b к   Α¹ gdw D, I, b к Α,

(iii)   D, I, b к ^rΑ ∧ Β¹ gdw D, I, b к Α und D, I, b к Β,

(iv)  D, I, b к ^rΑ ∨ Β¹ gdw D, I, b к Α oder D, I, b к Β,

(v)   D, I, b к ^rΑ → Β¹ gdw D, I, b к Α oder D, I, b к Β,

(vi)  D, I, b к ^rΑ θ Β¹ gdw

D, I, b к Α und D, I, b к Β oder D, I, b к Α und D, I, b к Β,

(vii)  D, I, b к ^rΛξΔ^π gdw

es gibt β ∈ PAR∖TT(Δ), so dass fur alle b', die in β Belegungsvarianten von b fur D
sind: D, I, b' к [β, ξ, Δ], und

(viii) D, I, b к ^rVξΔ^π gdw

es gibt β ∈ PAR∖TT(Δ) und b', das in β eine Belegungsvariante von b fur D ist, so
dass D, I, b' к [β, ξ, Δ].

Beweis: Seien (D, I) ein Modell, b eine Belegung fur D, Α, Β ∈ GFORM, ξ ∈ VAR, Φ
∈ PRA, Φ r-stellig, θo, ., θr-1 ∈ GTERM, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}. Dann gibt

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