Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

5.1 Erfullungsrelation und modelltheoretische Konsequenz 217

Zu (ii): Der Beweis wird durch Induktion uber den Formelgrad gefuhrt. Gelte dazu das
Theorem fur alle Α ∈ FORM mit FGRAD(A) < k. Seien nun (D, I), (D, I') Modelle, b,
b` Belegungen fur D und sei Γ ∈ GFORM und gelte IΓTA(Γ) = I'ΓTA(Γ) und bΓTT(Γ) =
b^,ΓTT(Γ) und sei FGRAD(Γ) = k.

Sei FGRAD(Γ) = 0, also Γ ∈ AFORM. Dann gibt es θo, ., θr-ɪ ∈ TERM und Φ ∈
PRA, wobei Φ r-stellig ist, so dass Γ = ^rΦ(θ₀, ., θ_r-1)^^l. Dann gilt mit FV(^rΦ(θ₀, .,
θr-ι)^π) = ∪{FV(θi) | i < r}, ∪{TA(θ_i) | i < r} ⊆ TA(^rΦ(θo, ., θr-ι)^π) und ∪{TT(θi) | i < r}
⊆ TT(^rΦ(θ₀, ., θ_r-1)^^l) nach der Annahme fur Γ fur alle i < r: θi ∈ GTERM, IΓTA(θi) =
ITTA(θ_i) und bΓTT(θj) = b^,ΓTT(θi). Mit (i) gilt damit dann fur alle i < r: TD(θi, D, I, b) =
TD(θi, D, I', b'). Sodann gilt mit Φ ∈ TA(^rΦ(θ₀, ., θ_r-1)^^l) ∩ PRA nach Annahme auch
I(Φ) = I'(Φ). Damit gilt mit Theorem 5-4-(i) folgende Kette:

D, I, b = Γ

gdw

D, I, b = ^rΦ(θ0, ., W

(TD(θ0, D, I, b), ., TD(θr-ι, D, I, b)> ∈ I(Φ)

(TD(θ0, D, I', b'), ., TD(θr-ι, D, I', b ')> ∈ I '(Φ)
gdw

D, I', b' = ^rΦ(θ0, ., W
gdw

D, I^,, b' = Γ.

Sei nun FGRAD(Γ) ≠ 0, also Γ ∈ JFORM ∪ QFORM. Es konnen sieben Falle unter-
schieden werden. Erstens: Sei Γ = ^r—A^^l. Also FGRAD(A) < FGRAD(Γ). Dann ist nach
der Annahme fur Γ auch A ∈ GFORM, I ΓTA(A) = I TTA(A) und b ΓTT(A) = b TTT(A).
Mit Theorem 5-4-(ii) und I.V. gilt damit:

D, I, b = Γ

gdw

D, I, b = A¹
gdw

D, I, b ≠ A
gdw

D, I', b' ≠ A
gdw

D, I', b' =   A¹

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