Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

204   4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft

=  A3  ∪   {(Dom(A3),    ^rAlso Γ∣)}

=  A⁴  ∪   {(Dom(A4),    rAiso γ∣)}.

Zunachst ist A5_Dom(_A*) ∈ ASATZ. Sodann gilt mit α ∈ KONST∖TTSEQ(A*) auch α ∉
TTFM({[β*, ξ, Δ], Γ}) und damit, dass K(A 1) ≠ K(A2), K(A2) ≠ K(A³) und K(A³) ≠ ^r[β*,
ξ, Δ] → K(A2)∣. Mit Theorem 1-8 ist zudem K(A3) ≠ K(A4). Auβerdem gilt mit Theorem
1-10 und Theorem 1-11, dass K(A2) keine Subjunktion und K(A2) und K(A3) keine Nega-
tionen sind. Zudem ist K(A¹) = ^l^[β*, ξ, Δ]∣ ≠ ^r—([β*, ξ, Δ] → Γ)∣ = r— K(A3)∣ und

K(A1) = Γ ≠ ^r[β*, ξ, Δ] → ([β*, ξ, Δ] → Γ)∣ = r K(A¹) → K(A³)∣. Damit gilt mit

Theorem 2-42, Definition 2-11, Definition 2-12 und Definition 2-13, dass fur alle k mit 1
≤ k ≤ 4 gilt: Es gibt keinen geschlossenen Abschnitt ^ in A^k fur den mιn(Dom(A)) =
Dom(A*). Mit Theorem 2-47 gilt damit fur alle k mit 1 ≤ k ≤ 4: Es gibt keinen geschlos-
senen Abschnitt ^ in Ak fur den mιn(Dom(A)) ≤ Dom(A*) ≤ max(Dom(^)). Damit ergibt
sich auch, dass fur alle k mit 1 ≤ k ≤ 4 gilt, dass Dom(A*) = max(Dom(VANS(A^k))). Mit
Theorem 3-19-(i), Theorem 3-20-(i), Theorem 3-21-(i) und Theorem 2-61 gilt dann fur al-
le k mit 2 ≤ k ≤ 4: Ak ∉ SEF(Ak^-1) ∪ NEF(A^k-1) ∪ PBF(A^k-1).

Hingegen ist erstens nach Definition 3-1 A¹ ∈ AF(A) ⊆ RGS∖{0} und mit Theorem
3-15 VERS(A¹) = VERS(A*) ∪ {(Dom(A*), rSei [β*, ξ, Δ]∣)} und VANS(A¹) =
VANS(A*) ∪ {(Dom(A), rSei [β*, ξ, Δ]∣)}, (Dom(A*)-1, A5Dom(A*)-1) ∈ VERS(A¹), wo-
bei A(A⁵Dom(A*)-1) = ^rVξΔ∣, und rΛξ(Δ → Γ)∣ ∈ VER(A*) ⊆ VER(A¹) und [β*, ξ, Δ] ∈
VER(A1). Sodann ist zweitens nach Definition 3-16 A² ∈ IEF(A1) ⊆ RGS∖{0} und mit
Theorem 3-25 VERS(A2) = VERS(A1) ∪ {(Dom(A¹), rAlso α = α∣)}. Damit gilt
(Dom(A*), rSei [β*, ξ, Δ]∣) ∈ VANS(A¹) = VANS(A²) und rΛξ(Δ → Γ)∣, [β*, ξ, Δ] ∈
VER(A1) ⊆ VER(A2) und (Dom(A*)-1, A⁵_Dom(_A*)_-1) ∈ VERS(A2). Also ist drittens nach
Definition 3-13 A³ ∈ UBF(A²) ⊆ RGS∖{0} und mit Theorem 3-25 VERS(A³) =
VERS(A²) ∪ {(Dom(A²), rAlso [β*, ξ, Δ] → Γ∣)}. Damit gilt (Dom(A*), rSei [β*, ξ,
Δ]∣) ∈ VANS(A²) = VANS(A³) und (Dom(A*)-1, A5Dom(A*)-1) ∈ VERS(A³) und [β*, ξ,
Δ] ∈ VER(A2) ⊆ VER(A³) und ^l^[β*, ξ, Δ] → Γ∣ ∈ VER(A³). Also ist viertens nach
Definition 3-3 A⁴ ∈ SBF(A³) ⊆ RGS∖{0} und mit Theorem 3-25 VERS(A⁴) = VERS(A³)
∪ {(Dom(A³), rAlso Γ∣)}. Damit gilt (Dom(A*), rSei [β*, ξ, Δ]∣) ∈ VANS(A³) =
VANS(A⁴) und (Dom(A*)-1, A5Dom(A*)-1), (Dom(A*)+3, rAlso Γ∣) ∈ VERS(A⁴).

Insgesamt gilt damit β* ∈ PAR, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, FV(Δ) ⊆ {ξ}, Γ ∈ GFORM
Dom(A*)-1 ∈ Dom(A⁴), A(A4Dom(A*)-1) = r∀ξΔ^^, und (Dom(A*)-1, A4Dom(A*)-1) ∈

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