4.2 Eigenschaften der deduktiven Konsequenzschaft 203
VANS(ft4) = VANS(ft3) = VANS(ft1) und (Dom(ft2), rAlso Γ л -Γπ), (Dom(ft3), rAlso
-(Γ л -Γ)π) ∈ VERS(ft4) sowιe (Dom(ft), rSeι Απ) ∈ VANS(ft1) = VANS(ft4).
Insgesamt gilt Dom(ft), Dom(ft2) ∈ Dom(ft4), wobei Dom(ft) ≤ Dom(ft2), A(ft4Dom(ft))
= Α und (Dom(ft), A'∣>o,,,l∙<,∙l) ∈ VANS(ft4), A(ft∏om(ft2)) = T л -Γ und A(ft4Dom(ft4)-1) =
г—(Γ л —Γ)^l, (Dom(ft2), ^Dom(⅛2)) ∈ VERS(ft4) und es gibt kein l mit Dom(ft) < l ≤
Dom(ft4)-1, so dass (l, ft4l) ∈ VANS(ft4). Damit ist dann schlieβlich Junftens nach
Definition 3-10 ft5 ∈ NEF(ft4) ⊂ RGS∖{0} und mit Theorem 3-20-(iv) und -(v)
VΛ∖S(C√) = VANS(ft4)∖{(max(Dom(VANS(ft4))), ft5max(Dom(VANS(ft4))))} =
VANS(ft4)∖{(Dom(ft), rSei Απ)} = VANS(ft1)∖{(Dom(ft), rSei Απ)} = (VANS(ft) и
{(Dom(ft), rSei Απ)})∖{(Dom(ft), rSei Απ)} = VANS(ft)∖{(Dom(ft), rSei Απ)} ⊆
VANS(ft). Mit Theorem 2-75 ist dann VAN(ft5) ⊆ VAN(ft) ⊆ (X и Y)∖{Α}. Da K(ft5)
= r—Α^l, gilt mit Theorem 3-12 (X и Y)∖{Α} H r—a^i .
Zu (xvi) (PB): Sei X H ryξ∆^ι und Y H Γ und [β, ξ Δ] ∈ Y und β ∉
TTFM((Y∖{[β, ξ, Δ]}) и {Δ, Γ}). Dann gilt mit (i): Y∖{[β, ξ, Δ]} H r[β, ξ, Δ] → Г. So-
dann gilt mit Γ ∈ GFORM: [β, ξ, Γ] = Γ. Damit ist [β, ξ, rΔ → Γ^l] = r[β, ξ, Δ] → [β, ξ,
Γ]^l = r[β, ξ, Δ] → Γ und damit gilt Y∖{[β, ξ, Δ]} H [β, ξ, rΔ → Γπ ]. Sodann ergibt sich
mit β ∉ TTFM({Δ, Γ}), dass β ∉ TT(rΔ → Γπ). Sodann ist mit Γ ∈ GFORM und FV(Δ)
⊆ {ξ} auch FV(rΔ → Γπ) ⊂ {ξ}. Da nach Annahme auch β ∉ TTFM(Y∖{[β, ξ, Δ]}), gilt
dann mit (xv): Y∖{[β, ξ, Δ]} H rΛξ(Δ → Γ)π. Mit (iii) gilt X и (Y∖{[β, ξ, Δ]}) H rΛξ(Δ
→ Γ) л VξΔπ.
Dann gibt es nach Theorem 3-12 ein ft ∈ RGS∖{0}, so dass VAN(ft) ⊂ X и (Y∖{[β, ξ,
Δ]}) und K(ft) = rΛξ(Δ → Γ) л VξΔ^l. Mit Theorem 4-5 gibt es dann ein ft* ∈ RGS∖{0},
so dass VAN(ft*) = VAN(ft) ⊆ Xu (Y∖{[β, ξ, Δ]}) und rΛξ(Δ → Γ)π, rVξΔπ∈
VER(ft*) und K(ft*) = rVξΔπ. Mit Theorem 2-82 ist genauer (Dom(ft*)-1, Ъ VξΔ^l) ∈
VERS(ft*) fur ein Ξ ∈ PERF. Nun gibt es ein β* ∈ PAR∖TTSEQ(ft*) und ein α ∈
KONST∖TTSEQ(ft*). Damit lasst sich ft* wie folgt zu ft5 ∈ SEQ mit ft5ΓDom(ft*) = ft*
fortsetzen:
ft1
ft2
ft3
= ft* и {(Dom(ft*),
= ft1 и {(Dom(ft1),
= ft2 и {(Dom(ft2),
rSei [β*, ξ, Δ∏}
rAlso α = α-l)}
rAlso [β*, ξ, Δ] → Γ-)}
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