Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



4.2 Eigenschaften der deduktiven Konsequenzschaft 203

VANS(ft4) = VANS(ft3) = VANS(ft1) und (Dom(ft2), rAlso Γ л -Γπ), (Dom(ft3), rAlso
-л -Γ)π) VERS(ft4) sowιe (Dom(ft), rSeι Απ) VANS(ft1) = VANS(ft4).

Insgesamt gilt Dom(ft), Dom(ft2) Dom(ft4), wobei Dom(ft) ≤ Dom(ft2), A(ft4Dom(ft))
= Α und (Dom(
ft), A'>o,,,l∙<,∙l) VANS(ft4), A(ft∏om(ft2)) = T л -Γ und A(ft4Dom(ft4)-1) =
г—л —Γ)^l, (Dom(ft2), ^Dom(2)) VERS(ft4) und es gibt kein l mit Dom(ft) < l ≤
Dom(ft4)-1, so dass (l, ft4l) VANS(ft4). Damit ist dann schlieβlich Junftens nach
Definition 3-10
ft5 NEF(ft4) RGS{0} und mit Theorem 3-20-(iv) und -(v)
S(C√)    = VANS(ft4){(max(Dom(VANS(ft4))), ft5max(Dom(VANS(ft4))))}    =

VANS(ft4){(Dom(ft), rSei Απ)} = VANS(ft1){(Dom(ft), rSei Απ)} = (VANS(ft) и
{(Dom(ft), rSei Απ)}){(Dom(ft), rSei Απ)} = VANS(ft){(Dom(ft), rSei Απ)}
VANS(ft). Mit Theorem 2-75 ist dann VAN(ft5) VAN(ft) (X и Y){Α}. Da K(ft5)
=
r—Α^l, gilt mit Theorem 3-12 (X и Y){Α} H r—a^i .

Zu (xvi) (PB): Sei X H ryξ∆^ι und Y H Γ und [β, ξ Δ] Y und β

TTFM((Y{[β, ξ, Δ]}) и {Δ, Γ}). Dann gilt mit (i): Y{[β, ξ, Δ]} H r[β, ξ, Δ] Г. So-
dann gilt mit Γ
GFORM: [β, ξ, Γ] = Γ. Damit ist [β, ξ, rΔ Γ^l] = r[β, ξ, Δ] [β, ξ,
Γ]
^l = r[β, ξ, Δ] Γ und damit gilt Y{[β, ξ, Δ]} H [β, ξ, rΔ Γπ ]. Sodann ergibt sich
mit β
TTFM({Δ, Γ}), dass β TT(rΔ Γπ). Sodann ist mit Γ GFORM und FV(Δ)
{ξ} auch FV(rΔ Γπ) {ξ}. Da nach Annahme auch β TTFM(Y{[β, ξ, Δ]}), gilt
dann mit (xv):
Y{[β, ξ, Δ]} H rΛξ(Δ Γ)π. Mit (iii) gilt X и (Y{[β, ξ, Δ]}) H rΛξ(Δ
Γ) л VξΔπ.

Dann gibt es nach Theorem 3-12 ein ft ∈ RGS{0}, so dass VAN(ft) X и (Y{[β, ξ,
Δ]}) und K(
ft) = ξ(Δ Γ) л VξΔ^l. Mit Theorem 4-5 gibt es dann ein ft* RGS{0},
so dass VAN(
ft*) = VAN(ft) Xu (Y{[β, ξ, Δ]}) und ξ(Δ Γ)π, rVξΔπ
VER(ft*) und K(ft*) = rVξΔπ. Mit Theorem 2-82 ist genauer (Dom(ft*)-1, Ъ VξΔ^l)
VERS(ft*) fur ein Ξ PERF. Nun gibt es ein β* PARTTSEQ(ft*) und ein α
KONSTTTSEQ(ft*). Damit lasst sich ft* wie folgt zu ft5 SEQ mit ft5ΓDom(ft*) = ft*
fortsetzen:

ft1
ft2
ft3


= ft* и {(Dom(ft*),
=
ft1 и {(Dom(ft1),
=
ft2 и {(Dom(ft2),


rSei [β*, ξ, Δ∏}
rAlso α = α-l)}
rAlso [β*, ξ, Δ] Γ-)}



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