Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



200   4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft

mit Theorem 3-27-(v) ist VAN(ft+) VAN(ft*) XY und es ist K(ft+) = Β. Also
gilt mit Theorem 3-12:
XY H Β.

Zu (iv) (KB), (viii) (AE), (xii) (NB), (xiii) (UE), (xiv) (UB), (xv) (PE): (iv) wird exempla-
risch gezeigt. Klauseln (viii), (xii), (xiii), (xiv) und (xv) ergeben sich analog. Sei fur (iv)
X H rΑ Β^l oder X H rΒ Α^l. Sei nun X H rΑ Β^l. Dann gibt es nach Theorem
3-12
ft RGS{0}, so dass VAN(ft) X und K(ft) = rΑ ∧ 1Γ. Dann ist mit Theorem
2-82
rΑ VER(ft) und daher nach Definition 3-5 ft' = ft~{(0, rAlso Α^l)}
KBF(ft) RGS{0} und mit Theorem 3-27-(v) ist VAN(ft') VAN(ft) X und es ist
K(
ft') = Α. Also gilt wiederum nach Theorem 3-12: X H Α. Fur den Fall, dass X H rΒ
.Α zeigt man analog, dass dann ebenfalls X H Α gilt.

Zu (vi:)(BE*): Sei X H Β und Α X und Y H Α und Β Y. Dann gilt mit (i): X\{Α}
H rΑ Βπ und Y{Β} H rΒ Α^l. Dann gilt mit (v): (X\{Α}) (Y{Β}) H rΑ Βπ.

Zu (ix) (AB): Sei X H rΑ Β^l und Y H rΑ Γ^l und Z H rΒ Γ^l. Dann ergibt sich
mit zweifacher Anwendung von (iii):
XYZ H rΒ) ((Α Γ) Γ))^l.
Dann gibt es mit Theorem 3-12
ft ∈ RGS{0}, so dass VAN(ft) XYZ und K(ft)
=
rΒ) ((Α Γ) Γ))^l. Nun gibt es ein α KONSTTTSEQ(ft). Damit
lasst sich
ft wie folgt zu einem ft6 SEQ mit ft6ΓDom(ft) = ft fortsetzen:

ft1      =  ft    ∪    {(Dom (ft),

rSei α = απ)}

rAlso Α V Βπ)}

rAlso (Α Γ) Γ)1)}

rAlso Α Γ^l)}

rAlso Β Γ1)}

rAlso Γ1)}.


ft2     =  ft1   ∪    {(Dom(ft1),

ft3      =  ft2   ∪    {(Dom(ft2),

ft4     =  ft3   ∪    {(Dom(ft3),

ft5     =  ft4   ∪    {(Dom(ft4),

ft6     =  ft5   ∪    {(Dom(ft5),

Zunachst ist ft6Dom(ft) ASATZ. Sodann gilt mit α KONSTTTSEQ(ft) auch α

TTFM({Α, Β, Γ}) und damit insgesamt, dass fur alle k mit 1 ≤ k ≤ 6 gilt: Wenn i ∈
Dom(ftk), dann: α TT(ftki) gdw i = Dom(ft). Sodann gilt fur alle k mit 1 ≤ k ≤ 6, dass
Dom(
ft) Dom(ANS(ftk)). Mit Theorem 4-3 gilt damit, dass fur alle k mit 1 ≤ k ≤ 6 gilt:
Es gibt keinen geschlossenen Abschnitt ʌl in
ftk fur den min(Dom(^)) ≤ Dom(ft) ≤
max(Dom(
^)). Damit ergibt sich auch, dass fur alle k mit 1 ≤ k ≤ 6 gilt, dass Dom(ft) =
max(Dom(VANS(
ftk))). Mit Theorem 3-19-(i), Theorem 3-20-(i), Theorem 3-21-(i) und



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