4.2 Eigenschaften der deduktiven Konsequenzschaft 201
Theorem 2-61 gilt dann, dass fur alle k mit 2 ≤ k ≤ 6 gilt: ftk ∉ SEF(ftk-1) и NEF(ftk-1) и
PBF(ftk-1).
Hingegen ist erstens nach Definition 3-1 ft1 ∈ AF(ft) ⊂ RGS∖{0} und mit Theorem
3-15 VERS(ft1) = VERS(ft) и {(Dom(ft), rSei α = α∣)} und VANS(ft1) = VANS(ft) и
{(Dom(ft), rSei α = α∣)} und r(Α v Β) л ((Α → Γ) л (Β → Γ))∣ ∈ VER(ft) ⊂ VER(ft1).
Also ist zweitens nach Definition 3-5 ft2 ∈ KBF(ft1) ⊆ RGS∖{0} und mit Theorem 3-25
VERS(ft2) = VERS(ft1) и {(Dom(ft1), rAlso Α v Β∣)}. Damit gilt VANS(ft2) =
VANS(ft1), r(Α v Β) л ((Α → Γ) л (Β → Γ))∣ ∈ VER(ft1) ⊆ VER(ft2) und rΑ v Β∣ ∈
VER(ft2). Also ist drittens nach Definition 3-5 ft3 ∈ KBF(ft2) ⊆ RGS∖{0} und mit
Theorem 3-25 VERS(ft3) = VERS(ft2) и {(Dom(ft2), rAlso (Α → Γ) л (Β → Γ)∣)}.
Damit gilt VANS(ft3) = VANS(ft2), rΑ v Β∣ ∈ VER(ft2) ⊆ VER(ft3) und r(Α → Γ) л
(Β → Γ)^l ∈ VER(ft3). Also ist viertens nach Definition 3-5 ft4 ∈ KBF(ft3) ⊆ RGS∖{0}
und mit Theorem 3-25 VERS(ft4) = VERS(ft3) и {(Dom(ft3), rAlso Α → Γ∣)}. Damit
gilt VANS(ft4) = VANS(ft3), rΑ v Β∣, r(Α → Γ) л (Β → Γ)∣ ∈ VER(ft3) ⊆ VER(ft4)
und rΑ → Γ ∈ VER(ft4). Also ist funftens nach Definition 3-5 ft5 ∈ KBF(ft4) ⊆
RGS∖{0} und mit Theorem 3-25 VERS(ft5) = VERS(ft4) и {(Dom(ft4), rAlso Β → Γ1)}.
Damit gilt VANS(ft5) = VANS(ft4), rΑ v Β∣, rΑ → Γ ∈ VER(ft4) ⊆ VER(ft5) und Ъ
→ Γ ∈ VER(ft5). SchlieBlich ist sechstens nach Definition 3-9 ft6 ∈ ABF(ft5) ⊆
RGS∖{0} und mit Theorem 3-25 VERS(ft6) = VERS(ft5) и {(Dom(ft5), rAlso Γ∣)}. Da-
mit gilt VANS(ft6) = VANS(ft5) = VANS(ft) и {(Dom(ft), rSei α = α∣)}. Damit gilt
VAN(ft6) = VAN(ft) и {rα = α∣} und es gilt Γ ∈ VER(ft6). Dann gibt es mit Theorem
4-7 ein ft+ ∈ RGS∖{0}, so dass VAN(ft+) ⊂ VAN(ft6)∖{Γα = α∣} = (VAN(ft) и {⅛ =
α^l})∖{rα = α∣} = VAN(ft)∖{Γα = α∣} ⊂ (X и Y и Z)X{rα = α∣} ⊂ X и Y и Z und
K(ft+) = Γ. Damit gilt dann nach Theorem 3-12 X и Y и Z H Γ.
Zu (x) (AB*): Sei X H га v Β^l und Y H Γ und Α ∈ Y und Z H Γ und Β ∈ Z. Dann gilt
mit (i): Y∖{Α} H га → Β^l und Z\{Β} H гв → Α^l. Dann gilt mit (ix): X и (Y∖{Α}) и
(Z∖ {Β}) H г.
Zu (xi) (NE): Sei X H Γ und Y H Г—Γ und Α ∈ X и Y. Ist Α = rΔ' ∧ —Δ'∣ fur ein Δ'
∈ GFORM, dann gilt mit Theorem 4-17 direkt: (X и Y)∖{Α} H %(Δ' ∧ — Δ')∣ = Г—Α∣.
Sei nun Α ≠ rΔ' л —Δ'∣ fur alle Δ'. Mit (iii) ergibt sich zunachst: X и Y H T л -Γπ. So-
dann gilt wiederum mit Theorem 4-17: X и Y H Г—(Γ л — Γ)∣ und damit mit (iii): X и