4.2 Eigenschaften der deduktiven Konsequenzschaft 197
U PBF(W). Mit Theorem 3-25 gilt dann VERS(W) = VERS(W) и {(1, rAlso Γ)} =
VΓ2. Sodann gilt mit Theorem 3-27-(ii) und -(iii), dass VANS(VΓ2) = VANS(VΓ1) und
damit VAN(W) = VAN(W) = {T л —Eπ}.
Wiederum nach Definition 3-5 ist sodann ⅛Γ3 ∈ KBF(⅛Γ2) ⊂ RGS∖{0}. Da nach
Theorem 1-8 T л —E^l ∉ TF(Γ) und Γ ≠ Г—E^l, gilt sodann nach Definition 3-2,
Definition 3-10 und Definition 3-15, dass VΓ3 ∉ SEF(⅛Γ2) и NEF(⅛Γ2) и PBF(⅛Γ2).
Mit Theorem 3-25 gilt dann wiederum VERS(VΓ3) = VERS(VΓ2) и {1, Wso — E^l)} =
VlA und mit Theorem 3-27-(ii) und -(iii), dass VANS(VlA) = VANS(VlA) und damit
VAN(W) = VAN(W) = {T л — Γ}. Dann ist 0 = max(Dom(VANS(W))) und 1, 2 ∈
Dom(VERS(V∣A)) und A(VlAi) = Γ und A(VlA2) = r—Γ. Damit ist dann nach Definition
3-10 V ∈ NEF(W) und nach Theorem 3-20 ist VANS(V) = VANS(W)W, Wi Γ л
—E^l)} = 0 und damit auch VAN(V) = 0. Damit gilt insgesamt: V ∈ RGS∖{0} und
VAN(V) = 0 und K(V) = r—(Γ л — E)^l. Mit Theorem 3-12 gilt damit 0 H г—(e ∧ — E)^l
und damit mit Theorem 4-16 X H r—(Γ л — Γ)^l. ■
Theorem 4-18. Abgeschlossenheit unter Einfuhrung und Beseitigung
Wenn Α, Β, E ∈ GFORM, θ0, θ1 ∈ GTERM, ξ ∈ VAR und Δ ∈ FORM, wobei
FV(Δ) ⊂ {ξ}, dann:
(i) Wenn X H Β und Α ∈ X, dann X\{Α} H га → b∖ (SE)
(ii) Wenn X H Α und Y H га → B1, dann X и Y H Β, (SB)
(iii) Wenn X H Α und Y H Β, dann X и Y H га λ Βπ, (KE)
(iv) Wenn X H га л Β"1 oder X H rΒ л Α"1, dann X H Α, (KB)
(v) Wenn X H га → Β^l und Y H rΒ → Απ, dann X и Y H га θ Bπ, (BE)
(vi) Wenn X H Β und Α ∈ X und Y H Α und Β ∈ Y, dann (X\{Α}) и (Y\{B}) (BE*)
H га → B1,
(vii) Wenn X H Α und Y H га θ Bπ oder Y H rB θ Α"1, dann X и Y H B, (BB)
(viii) Wenn X H Α oder X H B, dann X H га v Bπ, (AE)
(ix) Wenn X H га v Bπ und Y H га → Eπ und Z H rB → Eπ, dann X и Y и Z (AB)
H E,
(x) Wenn X H га v Bπ und Y H E und Α ∈ Y und Z H E und B ∈ Z, dann X и (AB*)
(Y\ {Α}) и (Z\ {B}) H E,
(xi) Wenn X H E und Y H г—E und Α ∈ X и Y, dann (X и Y)\{Α} H г—Λπ , (NE)
(xii) Wenn X H г——Eπ, dann X H E, (NB)
(xiii) Wenn X H [β, ξ, Δ] und β ∉ TTFM(X и {Δ}), dann X H rΛξΔπ, (UE)
(xiv) Wenn X H WA1, dann X H [θ0, ξ, Δ], (UB)
(xv) Wenn X H [θ0, ξ, Δ], dann X H r√ξΔπ, (PE)