Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

260   6 Korrektheit und Vollstandigkeit des Redehandlungskalkuls

Zu (ii): Sei X ⊆ GFORM. Die Links-Rechts-Richtung ergibt sich direkt aus Theorem
5-11. Zur Rechts-Links-Richtung: Seien alle Y ⊆ X mit | Y| ∈ N erfullbar. Ware X nicht
erfullbar. Nach Definition 5-17 gabe es dann keine D, I, b, so dass D, I, b к X. Damit
gilt nach Definition 5-10 X к ^r(c₀ = c₀) ∧ —(c₀ = c₀)^^l. Mit (i) gibt es dann Y ⊆ X, so
dass | Y| ∈ N und Y к ^r(c₀ = c₀) ∧ —(c₀ = c₀)^^l. Angenommen es gabe D, I, b, so dass D,
I, b к Y. Nach Definition 5-9 ware dann (D, I) ein Modell und b eine Belegung fur D.
Sodann ware nach Definition 5-10 auch D, I, b к ^r(c₀ = c₀) ∧ —(c₀ = c₀)^^l und damit mit
Theorem 5-4-(ii) und -(iii) D, I, b к ^rc₀ = c₀^^l und D, I, b к ^rc₀ = c₀^^l. Widerspruch!
Damit ist Y nicht erfullbar und es ist |Y| ∈ N, was im Widerspruch zur Annahme steht.
Also ist X erfullbar. ■

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