30 1 Zum grammatischen Rahmen
Gelte die Behauptung nun fur θ'0, ., θ'r-1 ∈ TERM und sei θ = rφ(θ'0, ... θ'r-1)^l ∈
FTERM. Sei nun k ∈ N∖{0}, {θo, ., θw} ⊆ GTERM und {ξo, ., ξk-ι} ⊆ VAR∖TT(θ),
wobei ξi ≠ ξj fur alle i, j < k mit i ≠ j. Mit U {TT(θ'i) | i < r} ⊆ TT(θ), gilt dann fur alle i <
r, dass {ξ0, ., ξk-1} ⊆ VAR∖TT(θ'i). Damit gibt es nach I.V. fur jedes θ'i (i < r) ein θ+i ∈
TERM, so dass θ'i = [<θo, ., θk-ι>, <ξ1, ., ξw>, θ+i] und FV(θ+i) ⊆ {ξo, ., ξk-ι} ∪ FV(θ'i)
und TT(θ+i) ∩ {θ0, ., θk-1} = 0. Dann gibt es kein i < k, so dass rφ(θ'0, . θ'r-1)^l = θi,
oder es gibt ein i < k, so dass rφ(θ'0, . θ'r-1)^l = θi. Im ersten Fall ist rφ(θ'0, . θ'r-1)^l =
rφ([<θo, ., θk-ι>, <ξ0, ., ξk-ι>, θ+0], ., [<θ0, ., θk-ι>, <ξ0, ., ξk-ι>, θ+r-ι])π = [<θ0, ., θk-ι>,
<ξ0, ., ξk-ι>, rφ(θ+0, ., θ+r-ι)π]. Sodann ist FV(rφ(θ+0, ., θ+r-ι>π) = U JFV(O) | i < r}
und somit mit I.V. FV(rφ(θ+0, ., θ+r-ι)π) ⊆ U{FV(θ'i) | i < r} ∪ {ξ0, ., ξk-ι} =
FV(rφ(θ'0, ., θ'r-1)^l) ∪ {ξ0, ., ξk-1}. Sodann ist nach Fallannahme und I.V. TT(rφ(θ+0,
., θ+r-ι)π) ∩ {θ0, ., θk-ι} = ({rφ(θ+0, ., θ+r-ι)π} ∪ U{TT(θ+i) | i < r}) ∩ {θ0, ., θk-ι} =
({rφ(θ+0, ., θ+r-ι)π} ∩ {θ0, ., θk-ι}) ∪ (U{TT(θ+i) | i < r} ∩ {θ0, ., θk-ι}) = 0 ∪
U{TT(θ+i) ∩ {θ0, ., θk-1} | i < r} = 0. Im zweiten Fall ist dann fur ein i < k rφ(θ'0, .
θ'r-ι)^, = [<θ0, ., θi>, <ξ0, ., ξi>, ξi]. Wegen ξi ≠ ξj fur alle i, j < k mit i ≠ j, gilt aber auch
rφ(θ'0, . θ'r-ι)π = [<θ0, ., θi>, <ξ0, ., ξi>, ξi] = [<θ0, ., θk-ι>, <ξ0, ., ξk-1>, ξi] und FV(ξi)
⊆ {ξ0, ., ξk-ι} ∪ FV(rφ(θ'0, . θ'r-ι)π) und wegen ξi ∉ GTERM auch TT(ξi) ∩ {θ0, .,
θk-1} = 0. ■
Theorem 1-16. Basen fur die Substitution von geschlossenen Termen in Formeln
Wenn Δ ∈ FORM, k ∈ N∖{0},{θ0, ., θk-ι} ⊆ GTERM und {ξ0, ., ξk-ι} ⊆ VAR∖TT(Δ), wo-
bei ξi ≠ ξj fur alle i, j < k mit i ≠ j, dann gibt es ein Δ+ ∈ FORM, wobei FV(Δ+) ⊆ {ξ0, ., ξk-1}
∪ FV(Δ) und TT(Δ+) ∩ {θ0, ., θk-ι} = 0, so dass Δ = [<θ0, ., θk-ι>, <ξ0, ., ξk-ι>, Δ+].
Beweis: Durch Induktion uber den Formelaufbau von Δ. Sei Δ = rΦ(θ'0, . θ'r-1)^l ∈
AFORM. Sei nun k ∈ N\{0}, {θ0, ., θk-1} ⊆ GTERM und {ξ0, ., ξk-1} ⊆
VARVΓT(rΦ(θ'0, . θ'r-1)^l), wobei ξi ≠ ξj fur alle i, j < k mit i ≠ j. Mit U {TT(θ'i) | i < r} =
TT(rΦ(θ'0, . θ'r-1)π), gilt dann fur alle i < r, dass {ξ0, ., ξk-1} ⊆ VAR∖TT(θ'i). Dann
gibt es nach Theorem 1-15 fur jedes θ'i (i < r) ein θ+i ∈ TERM, so dass θ'i = [<θ0, ., θk-1>,
<ξ0, ., ξk-1>, θ+i] und FV(θ+i) ⊆ {ξ0, ., ξk-1} ∪ FV(θ'i) und TT(θ+i) ∩ {θ0, ., θk-1} = 0.
Dann ist rΦ(θ'0, . θ'r-ι)π = rΦ([(θ0, ., θk-ι>, <ξ0, ., ξk-ι>, θ+0], ., [<θ0, ., θk-ι>, <ξ0, .,
ξk-ι>, θ+r-ι])π = [<θ0, ., θk-ι>, <ξ0, ., ξk-ι>, rΦ(θ+0, ., θ+r-ι)π]. Sodann ist FV(rΦ(θ+0, .,
θ+r-ι)π) = U{FV(θ+i) | i < r} und daher FV(rΦ(θ+0, ., θ+r-ι)π) ⊆ U{FV(θ'i) | i < r} ∪ {ξ0,
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