Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



30    1 Zum grammatischen Rahmen

Gelte die Behauptung nun fur θ'0, ., θ'r-1 TERM und sei θ = rφ(θ'0, ... θ'r-1)^l
FTERM. Sei nun k N{0}, {θo, ., θw} GTERM und {ξo, ., ξk-ι} VARTT(θ),
wobei ξ
i ξj fur alle i, jk mit i ≠ j. Mit U {TT(θ'i) | ir} TT(θ), gilt dann fur alle i <
r, dass {ξ0, ., ξk-1} VARTT(θ'i). Damit gibt es nach I.V. fur jedes θ'i (i r) ein θ+i
TERM, so dass θ'i = [<θo, ., θk-ι>, <ξ1, ., ξw>, θ+i] und FV(θ+i) o, ., ξk-ι} FV(θ'i)
und TT(θ+
i) 0, ., θk-1} = 0. Dann gibt es kein i k, so dass rφ(θ'0, . θ'r-1)^l = θi,
oder es gibt ein
i k, so dass rφ(θ'0, . θ'r-1)^l = θi. Im ersten Fall ist rφ(θ'0, . θ'r-1)^l =
rφ([<θo, ., θk-ι>, <ξ0, ., ξk-ι>, θ+0], ., [<θ0, ., θk-ι>, <ξ0, ., ξk-ι>, θ+r-ι])π = [<θ0, ., θk-ι>,
<ξ0, ., ξk-ι>, rφ(θ+0, ., θ+r-ι)π]. Sodann ist FV(rφ(θ+0, ., θ+r-ι>π) = U JFV(O) | i r}
und somit mit I.V. FV(
rφ(θ+0, ., θ+r-ι)π) U{FV(θ'i) | ir} 0, ., ξk-ι} =
FV(
rφ(θ'0, ., θ'r-1)^l) 0, ., ξk-1}. Sodann ist nach Fallannahme und I.V. TT(rφ(θ+0,
., θ+
r-ι)π) 0, ., θk-ι} = ({rφ(θ+0, ., θ+r-ι)π} U{TT(θ+i) | i r}) 0, ., θk-ι} =
({
rφ(θ+0, ., θ+r-ι)π} 0, ., θk-ι}) (U{TT(θ+i) | i r} 0, ., θk-ι}) = 0
U
{TT(θ+i) 0, ., θk-1} | i r} = 0. Im zweiten Fall ist dann fur ein i k rφ(θ'0, .
θ'
r-ι)^, = [<θ0, ., θi>, <ξ0, ., ξi>, ξi]. Wegen ξi ≠ ξj fur alle i, j k mit i j, gilt aber auch
rφ(θ'0, . θ'r-ι)π = [<θ0, ., θi>, <ξ0, ., ξi>, ξi] = [<θ0, ., θk-ι>, <ξ0, ., ξk-1>, ξi] und FV(ξi)
0, ., ξk-ι} FV(rφ(θ'0, . θ'r-ι)π) und wegen ξi GTERM auch TT(ξi) 0, .,
θ
k-1} = 0. ■

Theorem 1-16. Basen fur die Substitution von geschlossenen Termen in Formeln

Wenn Δ FORM, k N{0},{θ0, ., θk-ι} GTERM und {ξ0, ., ξk-ι} VARTT(Δ), wo-
bei ξ
i ≠ ξj fur alle i, j k mit i j, dann gibt es ein Δ+ FORM, wobei FV(Δ+) 0, ., ξk-1}
FV(Δ) und TT(Δ+) 0, ., θk-ι} = 0, so dass Δ = [<θ0, ., θk-ι>, <ξ0, ., ξk-ι>, Δ+].

Beweis: Durch Induktion uber den Formelaufbau von Δ. Sei Δ = rΦ(θ'0, . θ'r-1)^l
AFORM. Sei nun k N\{0}, {θ0, ., θk-1} GTERM und {ξ0, ., ξk-1}
VARVΓT(rΦ(θ'0, . θ'r-1)^l), wobei ξi ≠ ξj fur alle i, j k mit i j. Mit U {TT(θ'i) | i r} =
TT(
rΦ(θ'0, . θ'r-1)π), gilt dann fur alle i r, dass {ξ0, ., ξk-1} VARTT(θ'i). Dann
gibt es nach Theorem 1-15 fur jedes θ'
i (i r) ein θ+i TERM, so dass θ'i = [<θ0, ., θk-1>,
<ξ0, ., ξk-1>, θ+i] und FV(θ+i) 0, ., ξk-1} FV(θ'i) und TT(θ+i) 0, ., θk-1} = 0.
Dann ist
rΦ(θ'0, . θ'r-ι)π = rΦ([(θ0, ., θk-ι>, <ξ0, ., ξk-ι>, θ+0], ., [<θ0, ., θk-ι>, <ξ0, .,
ξ
k-ι>, θ+r-ι])π = [<θ0, ., θk-ι>, <ξ0, ., ξk-ι>, rΦ(θ+0, ., θ+r-ι)π]. Sodann ist FV(rΦ(θ+0, .,
θ+
r-ι)π) = U{FV(θ+i) | i r} und daher FV(rΦ(θ+0, ., θ+r-ι)π) U{FV(θ'i) | i r} 0,



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