Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



1.2 Substitution


31


..., ξk-ι} = FV(rΦ(θ'0, ., θ' ) ) o, ., ξk-ι}. Sodann ist TT(rΦ(θ+o, ., θ+r-ι)π)
o, ., Θk-1} = {TT(θ+i) | i r} o, ., θk-ι} = {TT(θ+i) o, ., Θk-1} | i r} = 0.

Gelte die Behauptung nun fur Δ0, Δ1 FORM und sei Δ = rΔ0^l JFORM. Sei nun k
N{0}, {θo, ., θk-ι} GTERM und {ξo, ., ξw} VARTTA  Δ ), wobei ξ ≠ ξj

fur alle i, jk mit i j. Mit TT(Δ0) = TT(rΔ0^l) gilt dann {ξ0, ., ξk-1} VARTT(Δ0).
Dann gibt es nach I.V. fur Δ0 ein Δ+0
FORM, so dass Δ0 = [<θ0, ., θk-1), <ξ0, ., ξk-1),
Δ+
0] und FV(Δ+0) FV(Δ0) 0, ., ξk-1} und TT(Δ+0) 0, ., θk-1} = 0. Dann ist
Γ-Δ(√ = r-[<θ0, ., Θk-1), (ξ0, ., ξk-i), Δ+αΓ = [<θo, ., θk-1), <ξ1, ., ξk-1), r-Δ+0π]. So-
dann ist FV(
r-+A) = FV(Δ+0) und daher FV(r-Δ) FV(Δ0) 0, ., ξk-1} =
FV(
r- Δ ) 0, ., ξk-ι}. Sodann ist TTΔ Δ ) 0, ., θk-1} = TT(Δ+0) 0, .,
θ
k-1} = 0.

Sei nun Δ = r0 ψ Δ1)^l JFORM. Sei nun k N{0}, {θ0, ., θk-1} GTERM und
0, ., ξ
k-1} VARTT(r0 ψ Δ1)^l), wobei ξi ξj fur alle i, jk mit i j. Mit TT(Δ0)
TT(Δ1) = TT(r0 ψ Δι)π) gilt dann {ξ0, ., ξk-ι} VAR(TT(Δ0) TT(Δι)). Dann
gibt es nach I.V. fur Δ
0, Δ1 jeweils ein Δ+0, Δ+1 FORM, so dass fur l < 2: Δl = [<θ0, .,
θ
k-1), <ξ0, ., ξk-1), Δ+1] und FV(Δ+1) 0, ., ξk-1} FV(Δ1) und TT(Δ+ι) 0, ., θk-1}
=
0. Dann ist r0 ψ Δ1)" = r([<θ0, ., θk-1), <ξ0, ., ξk-1), Δ+0] ψ [<θ0, ., θk-1), <ξ1, ., ξk-1),
Δ+
1])π = [<θ0, ., θk-1), <ξ0, ., ξk-1), r+0 ψ Δ+1)π]. Sodann ist FV(r(Δ% ψ Δ)π) =
FV(Δ+
0) FV(Δ+1) und daher FV(r+0 ψ Δ+1)π) FV(Δ0) FV(Δ1) 0, ., ξk-1} =
FV(
r0 ψ Δ1)") 0, ., ξk-1}. Sodann ist TT(r+0 ψ Δ)") 0, ., θk-1} = (TT(Δ+0)
0, ., θk-1}) (TT(Δ+1) 0, ., θk-1}) = 0.

Sei nun Δ = rΠζΔ0^l QFORM und weiter k N{0}, {θ0, ., θk-1} GTERM und
0, ., ξ
k-1} VARTT(rΠζΔ0^l), wobei ξi ≠ ξj fur alle i, j k mit i j. Damit gilt ins-
besondere ζ
0, ., ξk-1}. Sodann gilt mit TT(Δ0) TT(rΠζΔ0^1), dass {ξ0, ., ξk-1}
VARTT(Δ0). Damit gibt es nach I.V. fur Δ0 ein Δ+0 FORM, so dass Δ0 = [<θ0, ., θk-1),
<ξ0, ., ξk-1), Δ+0] und FV(Δ+0) 0, ., ξk-1} FV(Δ0) und TT(Δ+0) 0, ., θk-1} = 0.
Da ζ
0, ., ξk-1} ist dann 'ID = rΠζ[‰ ., θw>, <ξ0, ., ξk-1), Δ%Γ = [<θ0, .,
θ
k-1), <ξ0, ., ξk-1), r∏ζ∆V]∙ Sodann ist FV(rΠζΔ%π) = FV(Δ+0){ζ} (FV(Δ0){ζ})
0, ., ξk-1} = FV(rΠζΔ0^l) 0, ., ξk-1}. Sodann ist mit VAR GTERM = 0 schlieβ-
lich TT(
rΠζΔ+0π) 0, ., θk-1} = (TT(Δ+0) {ζ}) 0, ., θk-1} = 0. ■



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