1.2 Substitution
31
..., ξk-ι} = FV(rΦ(θ'0, ., θ' ) ) ∪ {ξo, ., ξk-ι}. Sodann ist TT(rΦ(θ+o, ., θ+r-ι)π) ∩
{θo, ., Θk-1} = ∪{TT(θ+i) | i < r} ∩ {θo, ., θk-ι} = ∪{TT(θ+i) ∩ {θo, ., Θk-1} | i < r} = 0.
Gelte die Behauptung nun fur Δ0, Δ1 ∈ FORM und sei Δ = r—Δ0^l ∈ JFORM. Sei nun k
∈ N∖{0}, {θo, ., θk-ι} ⊆ GTERM und {ξo, ., ξw} ⊆ VARTTA Δ ), wobei ξ ≠ ξj
fur alle i, j < k mit i ≠ j. Mit TT(Δ0) = TT(r—Δ0^l) gilt dann {ξ0, ., ξk-1} ⊆ VAR∖TT(Δ0).
Dann gibt es nach I.V. fur Δ0 ein Δ+0 ∈ FORM, so dass Δ0 = [<θ0, ., θk-1), <ξ0, ., ξk-1),
Δ+0] und FV(Δ+0) ⊆ FV(Δ0) ∪ {ξ0, ., ξk-1} und TT(Δ+0) ∩ {θ0, ., θk-1} = 0. Dann ist
Γ-Δ(√ = r-[<θ0, ., Θk-1), (ξ0, ., ξk-i), Δ+αΓ = [<θo, ., θk-1), <ξ1, ., ξk-1), r-Δ+0π]. So-
dann ist FV(r-.Δ+A) = FV(Δ+0) und daher FV(r-Δ'Δ) ⊆ FV(Δ0) ∪ {ξ0, ., ξk-1} =
FV(r- Δ ) ∪ {ξ0, ., ξk-ι}. Sodann ist TTΔ Δ ) ∩ {θ0, ., θk-1} = TT(Δ+0) ∩ {θ0, .,
θk-1} = 0.
Sei nun Δ = r(Δ0 ψ Δ1)^l ∈ JFORM. Sei nun k ∈ N∖{0}, {θ0, ., θk-1} ⊆ GTERM und
{ξ0, ., ξk-1} ⊆ VAR∖TT(r(Δ0 ψ Δ1)^l), wobei ξi ≠ ξj fur alle i, j < k mit i ≠ j. Mit TT(Δ0)
∪ TT(Δ1) = TT(r(Δ0 ψ Δι)π) gilt dann {ξ0, ., ξk-ι} ⊆ VAR∖(TT(Δ0) ∪ TT(Δι)). Dann
gibt es nach I.V. fur Δ0, Δ1 jeweils ein Δ+0, Δ+1 ∈ FORM, so dass fur l < 2: Δl = [<θ0, .,
θk-1), <ξ0, ., ξk-1), Δ+1] und FV(Δ+1) ⊆ {ξ0, ., ξk-1} ∪ FV(Δ1) und TT(Δ+ι) ∩ {θ0, ., θk-1}
= 0. Dann ist r(Δ0 ψ Δ1)" = r([<θ0, ., θk-1), <ξ0, ., ξk-1), Δ+0] ψ [<θ0, ., θk-1), <ξ1, ., ξk-1),
Δ+1])π = [<θ0, ., θk-1), <ξ0, ., ξk-1), r(Δ+0 ψ Δ+1)π]. Sodann ist FV(r(Δ% ψ Δ∖)π) =
FV(Δ+0) ∪ FV(Δ+1) und daher FV(r(Δ+0 ψ Δ+1)π) ⊆ FV(Δ0) ∪ FV(Δ1) ∪ {ξ0, ., ξk-1} =
FV(r(Δ0 ψ Δ1)") ∪ {ξ0, ., ξk-1}. Sodann ist TT(r(Δ+0 ψ Δ∖)") ∩ {θ0, ., θk-1} = (TT(Δ+0)
∩ {θ0, ., θk-1}) ∪ (TT(Δ+1) ∩ {θ0, ., θk-1}) = 0.
Sei nun Δ = rΠζΔ0^l ∈ QFORM und weiter k ∈ N∖{0}, {θ0, ., θk-1} ⊆ GTERM und
{ξ0, ., ξk-1} ⊆ VAR∖TT(rΠζΔ0^l), wobei ξi ≠ ξj fur alle i, j < k mit i ≠ j. Damit gilt ins-
besondere ζ ∉ {ξ0, ., ξk-1}. Sodann gilt mit TT(Δ0) ⊆ TT(rΠζΔ0^1), dass {ξ0, ., ξk-1} ⊆
VAR∖TT(Δ0). Damit gibt es nach I.V. fur Δ0 ein Δ+0 ∈ FORM, so dass Δ0 = [<θ0, ., θk-1),
<ξ0, ., ξk-1), Δ+0] und FV(Δ+0) ⊆ {ξ0, ., ξk-1} ∪ FV(Δ0) und TT(Δ+0) ∩ {θ0, ., θk-1} = 0.
Da ζ ∉ {ξ0, ., ξk-1} ist dann 'ID = rΠζ[‰ ., θw>, <ξ0, ., ξk-1), Δ%Γ = [<θ0, .,
θk-1), <ξ0, ., ξk-1), r∏ζ∆V]∙ Sodann ist FV(rΠζΔ%π) = FV(Δ+0)∖{ζ} ⊆ (FV(Δ0)∖{ζ}) ∪
{ξ0, ., ξk-1} = FV(rΠζΔ0^l) ∪ {ξ0, ., ξk-1}. Sodann ist mit VAR ∩ GTERM = 0 schlieβ-
lich TT(rΠζΔ+0π) ∩ {θ0, ., θk-1} = (TT(Δ+0) ∪ {ζ}) ∩ {θ0, ., θk-1} = 0. ■
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