Monopolistic Pricing in the Banking Industry: a Dynamic Model

Solution of the system

Defining X_t = g₃rD - g4rB, the first equation can be rewritten as:

Dt =

Yy ^β

^{(1 -} q) [yY^{β - [1 - (1 -} q)«^]]
^βγγ ^{+ [(1 -} q ) «

E [ Ft+ι]

^{- 1]}

(1 - q ) [yy β - [1 - (1 - q ) «

________^{[1 - (1 -} q ) «^]_________{f +}

^{(1 -} q)[yY^{β - [1 - (1 -} q)«^]] ^t

] NW -

Yy ^β

[yy ^{β - [1 - (1 -} q)«

Xt +

________^{1 - (1 - q} ) «________E [ ɪ _z ]
(1 - q)[yYβ - [1 - (1 - q)«]] ∣-^{α t+1}-∣'

(70)

Substituting the former in the other equation, we obtain a second order difference equation in
E[Ft].

Yy ^β

(1 - q) [yY β - [1 - (1 - q) «

E [ Ft +1]

^{[1 - (1 -} q ) «^]           _cι ,

--------;:—z----------------------fΓ+ +

^{(1 -} q)[yY^{β - [1 - (1 -} q)«^]]

^βγγ ^{+ [(1 -} q)« ^-1]

(1 - q ) [yY β - [1 - (1 - q ) « «

NW -

Yy ^β

[yY ^{β - [1 - (1 -} q ) «^]

Xt +

Yy

Yy ^β

^{1 -} «^{(1 -} q ) (1 - q ) [yY β - [1 - (1 - q ) «]

Ft

Yy

Yy ^β

^{1 -} «^{(1 -} q) ^[yYβ - [1 - (1 - q)«]^]

Xt-1

________^{1 - (1 - q} ) «________E [ ɪ _z ] ₌
(1 - q)[yYβ - [1 - (1 - q)«]]   ∣-^{α t+1}-∣

Yy

^{[1 - (1 -} q ) «^]

^{1 -} «^{(1 -} q) (1 - q) [yY β - [1 - (1 - q) «

Ft-1 +

Yy

^βγγ ^{+ [(1 -} q)« ^-1]

^{1 -} «^{(1 -} q ) (1 - q ) [yY β - [1 - (1 - q ) « ]

NW +

Yy

1 - (1 - q ) «

^{1 -} «^{(1 -} q) (1 - q)α[γYβ - [1 - (1 - q)«]]

+

-i---«---F^Ft + i---«---^W +  ---X----. (71)

1 - «(1 - q)      1 - «(1 - q)        1 - «(1 - q)

It can be expressed as:

E [ Ft +1 ]

^{[1 - (1 -} q ) « ]_r, ,

-------F----Ft⁺

Yy ^β

«

1 - « (1 - q )

^{(1 - q}) [yY^{β - [1 - (1 - q})«^]]

1 - «YY - q) Ft ⁺ 1

Yy

Yy ^β

[1 - (1 - q)«]

- « (1 - q )     γγ β

Ft +

Ft-1 =

^{(1 - q}) [yY^{β - [1 - (1 - q})«^]]

Yy ^β

Yy

C--^γ

L 1 - « (1 - q )

Yy ^β

+1

^βγγ ^{+ [(1 -} q) « ^{- 1]}

(1 - q) [yYβ - [1 - (1 - q) «

NW + ɪ

Yy

«^{(1 -} q) [yYβ - [1 - (1 - q)«]]
1 - (1 - q ) «

_ _ _

^{1 -} «^{(1 -} q) (1 - q) [yY β - [1 - (1 - q) «

Xt-1 +

Yy ^β

[yy^{β - [1 - (1 -} q)«^]]

^{Xt +} _τ

«

« (1 - q )

1

NW +

- «(1 - q)

Xt +

E [¹ ] Zt + ∩----ʧ ¹2 - ⁽¹ - ^q)«----∏TE [¹ Zt +1] . (72)

^LaJ (1 - q) yYβ - [1 - (1 - q)«]J   ^La -^l

We now study separately the left-hand side.

E [ Ft+ι]

[1 - (1 - q)«]

1 - «YY - q )^{Ft +} 1

Yy ^β

Yy

Ft + I----«----1

1 - «(1 - q)

[1 - (1 - q)«]

- « (1 - q )     γγ β

^{(1 - q}) [yY^{β - [1 - (1 - q})«^]]

Yy ^β

Ft +

Ft-1 = E[Ft +ι] - [—- + γγ] Ft + -_ιl- 1.   (73)

Lγγβ     J β

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