Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

3.3 VERS, VANS, VER und VAN in Ableitungen und bei einzelnen Ubergangen 141

3.3 VERS, VANS, VER und VAN in Ableitungen und bei
einzelnen Ubergangen

Nun werden Theoreme zu den einzelnen Regeln (vgl. Kap. 3.1) beziehungsweise Opera-
tionen (vgl. Kap. 3.2) etabliert, die gewissermaβen die Arbeitsweise des Redehandlungs-
kalkuls beschreiben. Genauer werden Theoreme bewiesen, die die Zusammenhange zwi-
schen der Anderung der Verfugbarkeiten (VERS, VANS, VER, VAN) beim
regelgemaβen Fortsetzen eine Sequenz U zu einer Sequenz U' einerseits und der dabei
verwendeten Regel oder Operation andererseits darstellen. Gleichzeitig bilden diese The-
oreme die Basis fur die in den folgenden Kapiteln bewiesenen Theoreme zur deduktiven
Konsequenzschaft (Kap. 4) und zum Nachweis der Korrektheit und der Vollstandigkeit
des Redehandlungskalkuls (Kap. 6). Am Abschluss des Kapitels bietet Theorem 3-30
einen Uberblick uber die Gestalt von und die Verfugbarkeitsverhaltnisse in Ableitungen
im Redehandlungskalkul.

Theorem 3-14. VERS, VANS, VER und VAN in RGF

Wenn U ∈ SEQ und U' ∈ RGF(U), dann:

(i)   VERS(U') ⊆ VERS(U) ∪ {(Dom(U), U' m .,)},

(ιι)  VANS(U') ⊆ VANS(U) ∪ {(Dom(U), U⅛u))},

(iii) VER(U') ⊆ VER(U) ∪ {K(U')} und
(iv) VAN(U') ⊆ VAN(U) ∪ {K(U')}.

Beweis: Sei U ∈ SEQ und U' ∈ RGF(U). Dann gibt es mit Theorem 3-3 Ξ ∈ PERF und Γ
∈ GFORM, so dass U' = U ∪ {(Dom(U), ^rΞ Γ^π)} = U"~" {(0, ^rΞ Γ)} und die Behauptung
folgt mit Theorem 2-79. ■

Theorem 3-15. VERS, VANS, VER und VAN bei AR
Wenn U ∈ SEQ und U' ∈ AF(U), dann:

(i) VERS(U')∖VERS(U) = {(Dom(U), ‰»)},
(11) VERS(U') = VERS(U) ∪ {(Dom(U), ‰»)},
(in) VANS(U')∖VANS(U) = {(Dom(U), U^,Doms))},
(iv) VANS(U') = VANS(U) ∪ {(Dom(U), U^,Dom(s))},
(v) VER(U')∖VER(U) ⊆ {K(U')},
(vi) VER(U') = VER(U) ∪ {K(U')},

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