Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

3.2 Ableitungsbegriff und deduktive Konsequenzschaft 139

quenz, die keine Ableitung von Γ aus X ist, zu beschreiben, ist im Rahmen des Rede-
handlungskalkuls nicht vorgesehen. Beim Ableiten im Redehandlungskalkul ist man we-
der auf graphische Mittel zur Markierung von Unterableitungen noch auf metasprachliche
Kommentare in der Form von Regel- oder Abhangigkeitsanzeigern angewiesen: Im Rah-
men des Redehandlungskalkuls sind Auβerungen von Satzsequenzen nicht deutungsbe-
durftig.

Nun folgt die Einfuhrung eines deduktiven Konsequenzbegriffs und einiger handelsub-
licher metalogischer Begrifflichkeiten. In Kap. 4 werden dann einige Eigenschaften der
deduktiven Konsequenzschaft, wie etwa Reflexivitat, Transitivitat und Abgeschlossenheit
unter Einfuhrung und Beseitigung gezeigt. Daraufhin wird dann in Kap. 6 ein Adaqua-
theitsbeweis des Kalkuls bezuglich der modelltheoretischen Konsequenzschaft vorgelegt.
Diese selbst wird in Kap. 5 zur Verfugung gestellt. Nun zur Definition der Konsequenz-
schaft:

Definition 3-21. Deduktive Konsequenzschaft

X H Γ
gdw

X ⊆ GFORM und es gibt ein ⅛ so dass

(i)   ʃɔ eine Ableitung von Γ aus VAN(⅛) ist und

(ii)  VANφ) ⊆ X.

Mit Theorem 3-9-(iii) gilt dann also wie ublich, dass fur X ⊆ GFORM: X H Γ genau
dann, wenn es endliches Y ⊆ X gibt, so dass Y H Γ. Daraus ergibt sich dann mit
Definition 3-23, dass X genau dann konsistent ist, wenn alle endlichen Y ⊆ X konsistent
sind, und mit Definition 3-24, dass X ⊆ GFORM genau dann inkonsistent ist, wenn es
endliches Y ⊆ X gibt, so dass Y inkonsistent ist. Das folgende Theorem ist unter
Definition 3-20 aquivalent zu Definition 3-21:

Theorem 3-12. Γ ist genau dann deduktive Konsequenz aus einer Aussagenmenge X, wenn es
ein nicht-leeres ^ aus RGS gibt, so dass Γ die Konklusion von ^ und VAN(⅛) ⊆ X ist

X H Γ gdw X ⊆ GFORM und es gibt ʃɔ ∈ RGS∖{0}, so dass Γ = K(A) und VAN(A) ⊆ X.

Beweis: Ergibt sich direkt aus Definition 3-20 und Definition 3-21. ■

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