Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

136   3 Der Redehandlungskalkul

Theorem 3-11. Eindeutigkeitssatzfur den Redehandlungskalkul¹³

Wenn A ∈ SEQ, dann:

(i) Es gibt kein Γ und kein X, so dass A eine Ableitung von Γ aus X ist,
oder

(ii) Es gibt genau ein Γ und genau ein X, so dass A eine Ableitung von Γ aus X ist.

Beweis: Sei .ħ ∈ SEQ. Dann gibt es kein Γ und kein X, so dass ⅛ eine Ableitung von Γ
aus X ist oder es gibt ein Γ und ein X, so dass .ħ eine Ableitung von Γ aus X ist. Im ers-
ten Fall gilt die Behauptung. Gebe es nun fur den zweiten Fall ein Γ und ein X, so dass .ħ
eine Ableitung von Γ aus X ist. Dann ist nach Definition 3-20 .ħ ∈ RGS∖{0}, Γ = K(.ħ)
und VAN(⅛) = X. Nun ist noch die Eindeutigkeit zu zeigen, damit die Einzigkeit folgt.
Seien dazu Γ' und X' so, dass .ħ eine Ableitung von Γ' aus X' ist. Dann ist Γ' = K(.ħ) = Γ
und X' = VAN(⅛) = X. ■

Dieses Ergebnis sei zunachst illustriert. Sei dazu ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆
{ξ}, und sei β ∈ PAR∖TT(Δ). Sei nun ^^[3.1] die folgende Sequenz:

Kommentar: Nach Theorem 3-11 sollte sich nun eindeutig ein Γ und ein X finden lassen,
so dass ⅛[3.1] eine Ableitung von Γ aus X ist. Dies ist tatsachlich der Fall, denn ^^[3.1] ist

¹³ Zur Formulierung eines entsprechenden Theorems fur eine Regulierung des Pradikats '.. ist eine Ablei-
tung von .. aus ..', bei der die an dritter Stelle genannte Aussagenmenge nicht mit der Menge der in der
an erster Stelle genannten Sequenz verfugbaren Annahmen identisch, sondern nur eine Obermenge der-
selben sein muss, siehe Fuβnote 4.

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