Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

3.2 Ableitungsbegriff und deduktive Konsequenzschaft 135

Definition 3-20. Ableitung

й ist eine Ableitung von Γ aus X
gdw

(i) й ∈ RGS∖{0},

(ii)   Γ = К(й) und

(iii) X = VAN(£).

Mit Blick auf Definition 3-19 sind jetzt genau diejenigen nicht-leeren Sequenzen Ablei-
tungen einer Aussage aus einer Aussagenmenge, die sich sukzessiv jeweils unter Anwen-
dung der Regeln des Redehandlungskalkuls auβern lassen.

Theorem 3-9. Eigenschaften von Ableitungen

Wenn й eine Ableitung von Γ aus X ist, dann:

(i)   й ∈ SEQ∖{0},

(ii)  Γ ∈ GFORM und

(iii) X ⊆ GFORM und ∣X∣ ∈ N.

Beweis: Sei й eine Ableitung von Γ aus X. Dann ist й ∈ RGS∖{0} und К(й) = Γ und X
= VAN($). Mit Definition 3-19 ist й ∈ SEQ∖{0}. Nach Definition 1-25, Definition 1-24,
Definition 1-23, Definition 1-18 und Definition 1-16 ist К(й) = Γ ∈ GFORM. Daruber
hinaus ist nach Definition 1-23 und Definition 1-24 Domffj) ∈ N. Mit Definition 2-31,
Definition 2-29, Definition 2-28 und Definition 2-26 ist damit auch X = VAN($) ⊆
GFORM und ∣X∣ = ∣VANfft)∣ ∈ N. ■

Theorem 3-10. In nicht-leeren RGS-Elementen, sind alle nicht-leeren Anfangsabschnitte -
Ableitungen ihrer Konklusion

Wenn й ∈ RGS∖{0}, dann gilt fur alle i ∈ Dom($): ⅛li+1 ist eine Ableitung von A(⅛) aus
VAN(⅛fi+1).

Beweis: Sei й ∈ RGS∖{0}. Dann gilt mit Theorem 3-8 fur alle i ∈ Dom($): йГі+1 ∈
RGS∖{0}. Ferner ist fur alle i ∈ Dom($): A(⅛) = К(йГі+1) und VAN^Γi+1) =
VAN(⅛Γi+1). ■

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