Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



134   3 Der Redehandlungskalkul

Theorem 3-7. Die regelgemaβe Fortsetzung eines RGS-Elements Juhrt zu einem nicht-leeren
RGS-Element

Wenn S ∈ RGS und S' AF(S) и SEF(S) и SBF(S) KEF(S) KBF(S) и BEF(S) и
BBF(S) и AEF(S) и ABF(S) и NEF(S) и NBF(S) и UEF(S) и UBF(S) и PEF(S) и
PBF(S) и IEF(S) и IBF(S), dann ist S' RGS{0}.

Beweis: Sei S ∈ RGS und S' AF(S) и SEF(S) и SBF(S) и KEF(S) и KBF(S) и
BEF(S) и BBF(S) и AEF(S) и ABF(S) и NEF(S) и NBF(S) и UEF(S) и UBF(S) и
PEF(S) и PBF(S) и IEF(S) и IBF(S). Dann ist nach Definition 3-18 S' RGF(S). Mit
Theorem 3-5 gilt dann
S = S'tDom(S')-1. Damit gilt wegen S ∈ RGS mit Theorem 3-6,
dass
S' RGS. Mit Theorem 3-1 ist sodann S' ≠ 0 und damit S' RGS{0}. ■

Theorem 3-8. S ist genau dann ein nicht-leeres RGS-Element, wenn S eine nicht-leere Se-
quenz ist und alle nicht-leeren AnJangsabschnitte von
S nicht-leere RGS-Elemente sind
S ∈ RGS{0} gdw S ∈ SEQ{0} und fur alle i ∈ Dom(S): SN+1 RGS{0}.

Beweis: (L-R): Sei S ∈ RGS{0}. Dann gilt nach Definition 3-19, dass S ∈ SEQ und fur
alle
i ∈ Dom(S), dass (i+1) RGF(SΓi). Dann ist mit der Voraussetzung S ∈
SEQ{0}. Sei nun 0 Dom(S). Dann ist also St1 RGF(0) = RGF(0). Nun gilt mit
Theorem 3-6
0 ∈ RGS und damit ergibt sich mit St1 RGF(0) wiederum mit Theorem
3-6, dass
St1 RGS und mit 0 Dom(1) dann auch St1 RGS{0}. Gelte nun fur i:
wenn
i ∈ Dom(S), dann SΓi+1 RGS{0}. Sei nun i+1 Dom(S). Dann ist i ∈
Dom(S) und damit nach I.V. auch SΓi+1 RGS{0}. Nun ist aber SΓi+2 RGF(SΓi+1).
Wegen
S ∈ SEQ und i+1 Dom(S) ist SΓi+1 = ((i+2))ΓDom((i+2))-1. Mit
Theorem 3-6 und Theorem 3-1 ist dann
SΓi+2 RGS{0}.

(R-L): Gelte nun umgekehrt S ∈ SEQ{0} und fur alle iDom(S): SΓi+1 RGS{0}.
Dann ist mit
S ∈ SEQ{0} Dom(S)-1 Dom(S) und somit Dom(S)-1+1 = S ∈
RGS{0}. ■

Unter Ruckgriff auf Definition 3-19 wird nun ein Ableitungsbegriff eingefuhrt. Darauf
aufbauend wird dann, nach einigen Theoremen und einer Beispielbetrachtung zum Ablei-
tungskonzept, ein entsprechender Konsequenzbegriff etabliert.



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