Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

142   3 Der Redehandlungskalkul

(vii) VAN(ft')∖VAN(ft) ⊆ {K(ft')} und

(viii) VAN(ft') = VAN(ft) ∪ {K(ft')}.

Beweis: Sei ft ∈ SEQ und ft' ∈ AF(ft). Dann gilt mit Definition 3-18 ft' ∈ RGF(ft). So-
dann gilt mit Definition 3-1, dass es Γ ∈ GFORM gibt, so dass ft' = ft ∪ {(Dom(ft), ^rSei
Γ^π)}. Damit gilt dann auch ft'ΓDom(ft')-1 = ft'ΓDom(ft) = ft.

Zu (i): Sei (i, ft'_i) ∈ VERS(ft')∖VERS(ft). Dann folgt mit Theorem 3-14-(i): (i, ft'_i) ∈
{(Dom(ft), ft'_Dom(_ft))}. Sodann gilt mit Theorem 2-82: (Dom(ft), ft'_Dom(_ft)) ∈ VERS(ft')
und es gilt (Dom(ft), ‰m(⅛)) ∉ VERS(ft) ⊆ ft. Also (Dom(ft), ft'ŋom(^)) ∈
VERS(ft')∖VERS(ft).

Zu (ii): Mit Theorem 3-14-(i) gilt: VERS(ft') ⊆ VERS(ft) ∪ {(Dom(ft), ‰m_w))}. So-
dann gilt, dass (Dom(ft), ft'D_om(_ft)) = (Dom(ft), rSei Γ^π) ∈ ANS(ft'). Damit gilt mit
Theorem 2-30, dass es keinen SE- oder NE- oder EA-artigen und damit auch keinen ge-
schlossenen Abschnitt ® in ft' gibt, so dass min(Dom(Φ)) ≤ Dom(ft)-1 = Dom(ft')-2 und
max(Dom(Φ)) = Dom(ft) = Dom(ft')-1. Dann gilt mit Theorem 2-84
VERS(ft)∖VERS(ft') = 0 und damit VERS(ft) ⊆ VERS(ft'). Mit (i) gilt (Dom(ft),
ft'Dom(ft)) ∈ VERS(ft') und mithin VERS(ft) ∪ {(Dom(ft), ft'Dom(ft))} ⊆ VERS(ft').

Zu (iii): Sei (i, ft'_i) ∈ VANS(ft')∖VANS(ft). Dann folgt mit Theorem 3-14-(ii): (i, ft'_i) ∈
{(Dom(ft), ft'Dom(ft))}. Sodann gilt mit (i): (Dom(ft), ft'ŋom(ft)) ∈ VERS(ft') und es gilt so-
dann (Dom(ft), ft'ŋom(ft)) = (Dom(ft), rSei Γ^^l) ∈ ANS(ft') und damit (Dom(ft), ft'ŋom(ft))
∈ VANS(ft') und (Dom(ft), ft⅛) ∉ VANS(ft) ⊆ ft.

Zu (iv): Mit (iii) gilt, dass (Dom(ft), ft'ŋom(ft)) ∈ VANS(ft') = VERS(ft') ∩ ANS(ft').
Damit gilt mit (ii): VANS(ft) ∪ {(Dom(ft), ft'_Dom(_ft))} = (VERS(ft) ∩ ANS(ft)) ∪
({(Dom(ft), ft'Dom(ft))} ∩ ANS(ft')) = (VERS(ft) ∪ {(Dom(ft), ft'Dom(ft))}) ∩ ANS(ft') =
VERS(ft') ∩ ANS(ft') = VANS(ft').

Zu (v), (vi), (vii), (viii): (v) ergibt sich mit Theorem 3-14-(iii) und (vii) ergibt sich mit
Theorem 3-14-(iv). (vi) ergibt sich mit Definition 2-30 und (ii). (viii) ergibt sich mit
Definition 2-31 und (iv). ■

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