Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



4.1 Vorbereitungen 189

Theorem 4-11. UE-Fortsetzung einer Sequenz

Wenn Q ∈ RGS{0}, k ∈ N∖{0}, {ξo, ., ξk} VAR, wobei fur alle i, j k mit i j gilt: ξi
≠ ξj, Δ FORM, wobei FV(Δ) o, ., ξk}, und {βo, ... βk-1} PARTTFM({Δ}
VAN(Q)), wobei fur alle i, jk mit i j gilt: βi ≠ βj, und K(Q) = [<βo, ., βk-1>, <ξo, ., ξ>,
Δ], dann gibt es ein
Q* RGS{0}, so dass

(i) PAR TTSEQ(Q*) = PAR TTSEQ(Q),

(ii)  VAN(Q*) VAN(Q) und

(iii) K(Q*) = 'ξ.'ξ Δ'.

Beweis: Durch Induktion uber k. Sei k = 1 und Q ∈ RGS{0}, sei ξ VAR, Δ FORM,
wobei FV(Δ)
{ξ} und β PARTTFM({Δ} VAN(Q)) und K(Q) = [β, ξ, Δ]. Da dann
mit Theorem 2-82 [β, ξ, Δ] = K(
Q) VER(Q), ist nach Definition 3-12 Q* = Q ∪
{(Dom(Q), rAlso ΛξΔ^l) UEF(Q) RGS{0} und K(Q*) = rΛξΔ^l. Sodann ist PAR
TTSEQ(Q*) = (PAR TTSEQ(Q)) (PAR TT(ξΔπ)) = PAR TTSEQ(Q) und mit
Theorem 3-26-(v) ist VAN(
Q*) VAN(Q).

Gelte die Behauptung nun fur k und sei Q ∈ RGS{0}, {ξ0, ., ξk} VAR, wobei fur i,
j k+1 mit i j gelte: ξi ≠ ξj, Δ FORM, wobei FV(Δ) o, ., ξk} und {βo, . βk}
PARTTFM({Δ} VAN(Q)), wobei fur i, j k+1 mit i j gelte: βi ≠ βj, und K(Q) =
[
<βo, ., βfc>, <ξo, ., ξfc>, Δ]. Mit Theorem 1-28-(ii) ist dann K(Q) = [<βo, ., βfc>, <ξo, .,
ξ
k>, Δ] = [βk, ξk, [<βo, ., βk-1>, <ξo, ., ξk-1>, Δ]]. Mit FV(Δ) o, ., ξk} ist dann
FV
<[<βo, ., βk-1>, <ξo, ., ξk-1>, Δ]) k} und mit der paarweisen Verschiedenheit der βi
und {βo, . β} PARTTFM({Δ} VAN(Q)) ist dann βfcPARTTFM({[<βo, .,
β
k-1>, <ξo, ., ξfc-1>, Δ]} VAN(Q)). Da sodann [βfc, ξfc, [<βo, ., βk-1>, <ξo, ., ξk-1>, Δ]] =
K(
Q) VER(Q) ist nach Definition 3-12 Q' = Q ∪ {(Dom(Q), rAlso Λξk[<βo, ., βk-1>,
<ξo, ., ξk-1>, ΔJ1) UEF(Q) RGS{0} und K(Q') = ξk[<βo, ., βk-1>, <ξo, ., ξk-1>, ΔJ1
und PAR TTSEQ(Q') = (PAR TTSEQ(Q)) (PAR TT(ξk[<βo, ., βk-1>, <ξo, .,
ξ
k-1>, Δ]^l)) = PAR TTSEQ(Q) und mit Theorem 3-26-(v) ist VAN(Q') VAN(Q).
Wegen der paarweisen Verschiedenheit der ξ
i ist sodann fur alle i k: ξi ≠ ξk. Damit ist

dann K(Q) = ξk[<βo, ., βk-1>, <ξo, ., ξk-1>, Δ]π = [<βo, ., βk-1>, <ξo, ., ξk-1>, rΛξkΔ1].

Mit FV(Δ) o, ., ξk} ist dann FV(ξkΔπ) o, ., ξk-1}, wobei die ξi mit ik
paarweise verschieden sind. Sodann ist mit {βo, . βk} PARTTFM({Δ} VAN(Q))
dann {βo, . β
k-1} PARTTFM({ ξkΔ^l} VAN(Q)), wobei die βi mit i k ebenfalls
paarweise verschieden sind. Nach I.V. gibt es damit mit K(
Q') = [<βo, ., βk-1>, <ξo, .,



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