Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

5.1 Erfullungsrelation und modelltheoretische Konsequenz 221

∈ TERM und Φ ∈ PRA, wobei Φ r-stellig ist, so dass Δ = ^rΦ(θ⁺₀, ..., θ⁺_r.₁)^π. Dann gilt
mit FV(^rΦ(θ⁺o, ., θ⁺r.ι)^π) = ∪{FV(θ⁺i) | i < r}, ∪{TA(θ⁺i) | i < r} ⊆ TA(^rΦ(θ⁺o, .,
θ⁺_r.₁)^^l) und ∪{TT(θ⁺i) | i < r} = TT(^rΦ(θ⁺₀, ., θ⁺_r.₁)^^l) nach der Annahme fur Δ fur alle i
< r: FV(θ⁺i) ⊆ {ξ}, I ΓTA(θ⁺i) = I 'ΓTA(θ⁺i) und b ΓTT(θ⁺i) = b 'ΓTT(θ⁺i). Mit (i) gilt damit
dann fur alle i < r: TD([θ, ξ, θ⁺i], D, I, b) = TD([θ', ξ, θ⁺i], D, I', b'). Sodann gilt mit Φ ∈
TA(^rΦ(θ⁺₀, ., θ⁺_r.₁)^π) ∩ PRA nach Annahme auch I(Φ) = I'(Φ). Damit gilt wegen
Theorem 5-4-(i) insgesamt:

D, I, b = [θ, ξ, Δ]

D, i, b = [θ, ξ, ^rΦ(θ⁺o, ., θ⁺r-ι)η

D, I, b = ^rΦ([θ, ξ, θ⁺o], ., [θ, ξ, θ⁺M∣Γ

(TD([θ, ξ, θ⁺o], D, I, b), ., TD([θ, ξ, θ⁺r.ι], D, I, b)> ∈ I(Φ)

(TD([θ', ξ, θ⁺o], D, I', b'), ., TD([θ', ξ, θ⁺r-ι], D, I', b')> ∈ I'(Φ)

D, I', b' = ^rΦ([θ', ξ, θ⁺o], ., [θ', ξ, θ⁺M∣Γ

D, i', b` = [θ', ξ, ^rΦ(θ⁺o, ., θ⁺r-ι)η
gdw

D, I', b' = [θ', ξ, Δ].

Sei nun FGRAD(Δ) ≠ o, also Δ ∈ JFORM ∪ QFORM. Es konnen sieben Falle unter-
schieden werden. Erstens: Sei Δ = ^r—Α^^l. Also FGRAD(A) < FGRAD(Δ). Dann ist nach
der Annahme fur Δ auch FV(A) ⊆ {ξ}, IΓTA(A) = ITTA(A) und bΓTT(A) = b'ΓTT(A).
Mit I.V. und Theorem 5-4-(ii) gilt dann:

D, I, b = [θ, ξ, Δ]
gdw

D, I, b = [θ, ξ, ^r-Aη
gdw

D, I, b = ^r-[θ, ξ, AΓ
gdw

D, I, b ≠ [θ, ξ, A]
gdw

D, I', b' ≠ [θ', ξ, A]
gdw

D, I', b' = ^r-[θ', ξ, AΓ

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