Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

5.1 Erfullungsrelation und modelltheoretische Konsequenz 223

Gelte nun D, I, b к ^rΛζ[θ, ξ, Α]^^l. Dann gibt es mit Theorem 5-4-(vii) ein β⁺ ∈
PAR∖TT([θ, ξ, Α]), so dass fur alle b⁺, die in β⁺ Belegungsvarianten von b fur D sind: D,
I, b⁺ к [β⁺, ζ, [θ, ξ, Α]]. Sei nun e# ∈ PAR∖(TT([θ, ξ, Α]) ∪ TT(θ) ∪ TT(θ')). Sei nun b'ɪ
in в# eine Belegungsvariante von b' fur D. Sei nun b ₁ = (b\{(в#, b(в#))}) ∪ {(в#,
b'і(в#))}. Dann ist b ₁ in в# eine Belegungsvariante von b fur D und b ₁(в#) = b^|₁(в#). Sei
nun b2 = (b∖{(β⁺, b(в+))}) ∪ {(β⁺, b'₁(β*))}. Dann ist b2 in β⁺ eine Belegungsvariante von
b fur D und somit gilt also D, I, b2 к [в+, ζ, [θ, ξ, Α]]. Sodann ist TDφ+, D, I, b2) =
b 2(в+) = b ^|₁(в#) = b ₁(в#) = TD^#, D, I, b ₁). Sodann gilt nach Annahme fur в+ und в#,
dass в+, в# ∉ TT([θ, ξ, Α]) und damit b2ΓTT([θ, ξ, Α]) = bΓTT([θ, ξ, Α]) = b 1ΓTT([θ, ξ,
Α]). Sodann ist trivialerweise IΓTA([θ, ξ, Α]) = IΓTA([θ, ξ, Α]). Ferner ist FV([θ, ξ, Α])
⊆ {ζ} und mit Theorem 1-13 ist FGRAD([θ, ξ, Α]) = FGRAD(Α) < FGRAD(Δ). Damit
gilt dann nach I.V. wegen D, I, b 2 к [в+, ζ, [θ, ξ, Α]] auch D, I, b ₁ к [в#, ζ, [θ, ξ, Α]] =
[θ, ξ, [в^#, ζ, Α]].

Sodann gilt mit в# ∉ TT(θ), dass b ₁ΓTT(θ) = bΓTT(θ), und mit в# ∉ TT(θ'), dass
b '1ΓTT(θ') = b 'ΓTT(θ'), und da trivialerweise I ΓTA(θ) = I ΓTA(θ) und I 'ΓTA(θ') = I 'ΓTA(θ')
gilt somit nach Theorem 5-5-(i): TD(θ, D, I, b1) = TD(θ, D, I, b) und TD(θ', D, I', b'1) =
TD(θ', D, I', b') und somit nach Eingangsannahme insgesamt TD(θ, D, I, b1) = TD(θ',
D, I', b'1). Ferner gilt mit bΓTT(Α) = b'ΓTT(Α), b 1(в#) = b\(в#) und TT([p^#, ζ, Α]) ⊆
TT(Α) ∪ {в#}, dass b 1ΓTT(^, ζ, Α]) = b’1Г([в#, Z, Α]). Sodann gilt: IΓTA(^, ζ, Α]) =
IΓ(TA(^, ζ, Α]) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRA)) = IΓ(TA(Α) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪
PRA)) = I ΓTA(Α) = I 'ΓTA(Α) = I 'Γ(TA(Α) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRA)) = I 'Γ(TA(^,
ζ, Α]) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRA)) = IT(TA([P#, ζ, Α]) und somit IΓTA(^, ζ, Α]) =
I'ΓTA(^, ζ, Α]). Ferner ist РУ([в^#, ζ, Α]) ⊆ {ξ} und mit Theorem 1-13 ist FGRAD(^#,
ζ, Α]) < FGRAD(Δ). Damit gilt mit D, I, b 1 к [θ, ξ, [в#, ζ, Α]] nach I.V. auch: D, I', b'1
к [θ', ξ, [в#, ζ, Α]] = [в#, ζ, [θ', ξ, Α]]. Also gilt fur alle b'⁺ die in в# Belegungsvarianten
von b' fur D sind: D, I', b'⁺ к [в#, ζ, [θ', ξ, Α]] und somit nach Theorem 5-4-(vii) D, I',
b' к ^rΛζ[θ', ξ, Α]^^l. Die R-L-Richtung verlauft analog.

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