Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

5.1 Erfullungsrelation und modelltheoretische Konsequenz 225

FGRAD([e#, ζ, Α]) < FGRAD(Δ). Damit gilt mit D, I, b2 к [θ, ξ, [в#, ζ, Α]] nach I.V.:
D, I', b'₁ к [θ`, ξ, [в#, ζ, Α]] = [в#, ζ, [θ', ξ, Α]] und somit nach Theorem 5-4-(viii): D, I',
b' к ^rVζ[θ', ξ, Α]^^l. Die R-L-Richtung verlauft analog. ■

Nun werden zur Vereinfachung spaterer Beweise einige Konsequenzen des Substitutions-
lemmas bewiesen.

Theorem 5-7. Koreferenzialitat

Wenn (D, I) ein Modell, b eine Belegung fur D ist, ξ ∈ VAR, θ, θ' ∈ GTERM und TD(θ, D,
I, b) = TD(θ', D, I, b), dann:

(i) Fur alle θ⁺ ∈ TERM mit FV(θ⁺) ⊆ {ξ} gilt: TD([θ, ξ, θ⁺], D, I, b) = TD([θ', ξ, θ⁺], D,
I, b), und

(ii) Fur alle Δ ∈ FORM mit FV(Δ) ⊆ {ξ} gilt: D, I, b к [θ, ξ, Δ] gdw D, I, b к [θ', ξ,
Δ].

Beweis: Sei (D, I) ein Modell, b eine Belegung fur D, ξ ∈ VAR, θ, θ' ∈ GTERM und
TD(θ, D, I, b) = TD(θ', D, I, b). Dann gilt trivialerweise fur alle μ ∈ TERM ∪ FORM:
IΓTA(μ) = IΓTA(μ) und bΓTT(μ) = bΓTT(μ) und damit folgt die Behauptung mit
Theorem 5-6. ■

Theorem 5-8. Invarianz der Erfullung von Quantorformeln bzgl. Parameterwahl

Wenn (D, I) ein Modell, b eine Belegung fur D ist, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆
{ξ} und β ∈ PAR∖TT(Δ), dann:

(i) D, I, b к ^rΛξΔ^π gdw fur alle b', die in β Belegungsvarianten von b fur D sind gilt:
D, I, b¹ к [β, ξ, Δ], und

(ii) D, I, b к ^rVξΔ^π gdw es gibt b', das in β Belegungsvariante von b fur D ist, so dass
D, I, b¹ к [β, ξ, Δ].

Beweis: Sei (D, I) ein Modell, b eine Belegung fur D, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei
FV(Δ) ⊆ {ξ}, und β ∈ PAR∖TT(Δ). Zu (i): Die R-L-Richtung ergibt sich direkt mit
Theorem 5-4-(vii). Gelte nun fur die L-R-Richtung D, I, b к ^rΛξΔ^^l. Dann gibt es ein β*
∈ PAR∖TT(Δ), so dass fur alle b*, die in β* Belegungsvarianten von b fur D sind gilt:
D, I, b* к [β*, ξ, Δ]. Sei nun b' in β eine Belegungsvariante von b fur D. Sei nun b* =
(b∖{(β*, b(β*))}) ∪ {(β*, b'(β))}. Dann ist b* in β* eine Belegungsvariante von b fur D
und somit gilt D, I, b * к [β*, ξ, Δ]. Ferner gilt dann: TD(β*, D, I, b *) = b *(β*) = b '(β)

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