Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



228   5 Modelltheorie

Definition 5-14. Dreistellige modelltheoretische Erfullung fur Mengen

D, Im^X
gdw

(D, I) ist ein Modell, X GFORM und fur alle Δ X gilt: D, I к Δ.

Definition 5-15. Modelltheoretische Konsequenz fur Mengen

X мк Y

gdw

XY GFORM und fur alle Δ Y gilt: X к Δ.

Definition 5-16. Allgemeingultigkeit fur Mengen

Mk x

gdw

X GFORM und fur alle Δ X gilt: к Δ.

Definition 5-17. Erfullbarkeit fur Mengen

X ist erfullbarM
gdw

X GFORM und es gibt D, I, b, so dass D, I, b к X.

Da im Folgenden immer aus dem Kontext hervorgehen wird, ob auf Aussagen oder Aus-
sagenmengen Bezug genommen wird, unterschlagen wir im Folgenden den Index 'M' bei
den Begriffen aus Definition 5-9 und
Definition 5-14 bis Definition 5-17. Zuletzt wird
nun noch der Abschluss einer Aussagenmenge unter modelltheoretischer Konsequenz-
schaft definiert. Danach folgen in diesem Abschnitt nur noch einige einfache Hilfstheo-
reme.

Definition 5-18. Der Abschluss einer Aussagenmenge unter modelltheoretischer Konsequenz
Xк = {Δ | Δ GFORM und X к Δ}.

Theorem 5-10. Erfullung ubertragt sich auf Untermengen
Wenn D, I, b к X, dann gilt fur alle Y X: D, I, b к Y.

Beweis: Ergibt sich direkt aus Definition 5-9. ■



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