5.2 Abgeschlossenheit der modelltheoretischen Konsequenzschaft 231
Theorem 5-16. Modelltheoretische Entsprechung zu SB
Wenn X к rΑ → Β"1 und Y к Α, dann X ∪ Y к Β.
Beweis: Seien X к rΑ → Β^l und Y к Α. Sei D, I, b к X ∪ Y. Dann ist (D, I) ein Mo-
dell und b eine Belegung fur D und sodann gilt mit Theorem 5-10 D, I, b к X und D, I,
b к Y. Nach Voraussetzung gilt dann D, I, b к Α und D, I, b к rΑ → Β^l. Mit letzte-
rem und Theorem 5-4-(v) gilt D, I, b к Α oder D, I, b к Β und damit mit D, I, b к Α,
dass D, I, b к Β. Also gilt fur alle D, I, b, fur die D, I, b к X ∪ Y gilt, auch D, I, b к
Β. Also X ∪ Y к Β. ■
Theorem 5-17. Modelltheoretische Entsprechung zu KE
Wenn X к Α und Y к Β, dann X ∪ Y к rΑ ∧ Β"1.
Beweis: Sei X к Α und Y к Β. Gelte D, I, b к X ∪ Y. Dann ist (D, I) ein Modell und b
eine Belegung fur D und mit Theorem 5-10 gilt D, I, b к X und D, I, b к Y. Nach Vo-
raussetzung gilt dann auch D, I, b к Α und D, I, b к Β. Mit Theorem 5-4-(iii) gilt dann
D, I, b к rΑ ∧ Β. Also gilt fur alle D, I, b, fur die D, I, b к X ∪ Y gilt, auch D, I, b
к rΑ ∧ Βπ. Also X ∪ Y к rΑ ∧ Βπ. ■
Theorem 5-18. Modelltheoretische Entsprechung zu KB
Wenn X к rΑ ∧ Β^l, dann X к Α und X к Β.
Beweis: Sei X к rΑ ∧ Β^l. Sei D, I, b к X. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Bele-
gung fur D und nach Voraussetzung gilt dann auch D, I, b к rΑ ∧ Β^l. Mit Theorem
5-4-(iii) gilt dann D, I, b к Α und D, I, b к Β. Also gilt fur alle D, I, b, fur die D, I, b
к X gilt, auch D, I, b к Α und D, I, b к Β. Also X к Α und X к Β. ■
Theorem 5-19. Modelltheoretische Entsprechung zu BE
Wenn X к rΑ → Β^l und Y к rΒ → Α^l, dann X ∪ Y к rΑ θ Β^l.
Beweis: Sei X к rΑ → Β^l und Y к rΒ → Α^l. Sei D, I, b к X ∪ Y. Dann ist (D, I) ein
Modell und b eine Belegung fur D und mit Theorem 5-10 gilt D, I, b к X und D, I, b к