Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

5.2 Abgeschlossenheit der modelltheoretischen Konsequenzschaft 231

Theorem 5-16. Modelltheoretische Entsprechung zu SB

Wenn X к ^rΑ → Β"¹ und Y к Α, dann X ∪ Y к Β.

Beweis: Seien X к ^rΑ → Β^^l und Y к Α. Sei D, I, b к X ∪ Y. Dann ist (D, I) ein Mo-
dell und b eine Belegung fur D und sodann gilt mit Theorem 5-10 D, I, b к X und D, I,
b к Y. Nach Voraussetzung gilt dann D, I, b к Α und D, I, b к ^rΑ → Β^^l. Mit letzte-
rem und Theorem 5-4-(v) gilt D, I, b к Α oder D, I, b к Β und damit mit D, I, b к Α,
dass D, I, b к Β. Also gilt fur alle D, I, b, fur die D, I, b к X ∪ Y gilt, auch D, I, b к
Β. Also X ∪ Y к Β. ■

Theorem 5-17. Modelltheoretische Entsprechung zu KE

Wenn X к Α und Y к Β, dann X ∪ Y к ^rΑ ∧ Β"¹.

Beweis: Sei X к Α und Y к Β. Gelte D, I, b к X ∪ Y. Dann ist (D, I) ein Modell und b
eine Belegung fur D und mit Theorem 5-10 gilt D, I, b к X und D, I, b к Y. Nach Vo-
raussetzung gilt dann auch D, I, b к Α und D, I, b к Β. Mit Theorem 5-4-(iii) gilt dann
D, I, b к ^rΑ ∧ Β. Also gilt fur alle D, I, b, fur die D, I, b к X ∪ Y gilt, auch D, I, b
к ^rΑ ∧ Β^π. Also X ∪ Y к ^rΑ ∧ Β^π. ■

Theorem 5-18. Modelltheoretische Entsprechung zu KB

Wenn X к ^rΑ ∧ Β^^l, dann X к Α und X к Β.

Beweis: Sei X к ^rΑ ∧ Β^^l. Sei D, I, b к X. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Bele-
gung fur D und nach Voraussetzung gilt dann auch D, I, b к ^rΑ ∧ Β^^l. Mit Theorem
5-4-(iii) gilt dann D, I, b к Α und D, I, b к Β. Also gilt fur alle D, I, b, fur die D, I, b
к X gilt, auch D, I, b к Α und D, I, b к Β. Also X к Α und X к Β. ■

Theorem 5-19. Modelltheoretische Entsprechung zu BE

Wenn X к ^rΑ → Β^^l und Y к ^rΒ → Α^^l, dann X ∪ Y к ^rΑ θ Β^^l.

Beweis: Sei X к ^rΑ → Β^^l und Y к ^rΒ → Α^^l. Sei D, I, b к X ∪ Y. Dann ist (D, I) ein
Modell und b eine Belegung fur D und mit Theorem 5-10 gilt D, I, b к X und D, I, b к

<<   202   203   204   205   206   207   208   >>

More intriguing information