Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

234   5 Modelltheorie

Theorem 5-25. Modelltheoretische Entsprechung zu NE

Wenn X к Β und Y к ^r— Β" und Α ∈ X ∪ Y, dann (X ∪ Y)\{Α} к ^г—А"¹.

Beweis: Sei X к Β und Y к ^г—Β" und А ∈ X ∪ Y. Sei D, I, b к (X ∪ Y)∖{Α}. Dann
ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung fur D, so dass fur alle Δ ∈ (X ∪ Y)∖{Α} gilt:
D, I, b к Δ. Ware nun D, I, b к Α. Dann gilt fur alle Δ ∈ X und fur alle Δ ∈ Y: D, I, b
к Δ und damit D, I, b к X und D, I, b к Y. Nach Voraussetzung gilt dann auch D, I, b
к Β und D, I, b к г—Β". Mit Theorem 5-4-(ii) gilt dann D, I, b к Β und D, I, b к Β.
Sed certe hoc esse non potest. Also D, I, b к Α und mithin D, I, b к г—А". Also gilt fur
alle D, I, b, fur die D, I, b к (X ∪ Y)∖{Α} gilt, auch D, I, b к г—Α". Also (X ∪
Y )∖{Α} к г—Α". ■

Theorem 5-26. Modelltheoretische Entsprechung zu NB

Wenn X к г——Α", dann X к Α.

Beweis: Sei X к г——Α". Sei D, I, b к X. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Bele-
gung fur D und nach Voraussetzung gilt dann auch D, I, b к г——Α". Mit Theorem
5-4-(ii) gilt dann D, I, b к г—Α". Nochmalige Anwendung von Theorem 5-4-(ii) ergibt
D, I, b к Α. Also gilt fur alle D, I, b: Wenn D, I, b к X, dann D, I, b к Α. Also X к
Α. ■

Theorem 5-27. Modelltheoretische Entsprechung zu UE

Wenn β ∈ PAR, ξ ∈ VAR, Α ∈ FORM, wobei FV(Α) ⊆ {ξ},und X к [β, ξ, Α] und β ∉
TTFM(X ∪ {Α}), dann X к ^rΛξΑ".

Beweis: Sei β ∈ PAR, ξ ∈ VAR, Α ∈ FORM, wobei FV(Α) ⊆ {ξ}, X к [β, ξ, Α] und β
∉ TTFM(X ∪ {Α}). Sei D, I, b к X. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung
fur D. Sei b' in β eine Belegungsvariante von b fur D. Sei Δ ∈ X. Also D, I, b к Δ. Nun
ist nach Voraussetzung β ∉ TT(Δ). Also gilt b ΓTT(Δ) = b ^lΓTT(Δ). Nach Theorem 5-5-(ii)
gilt dann auch D, I, b' к Δ. Also D, I, b' к Δ fur alle Δ ∈ X und somit D, I, b' к X.
Mit X к [β, ξ, Α], ist dann auch D, I, b' к [β, ξ, Α]. Also gilt fur alle b^l, die in β eine Be-
legungsvariante von b fur D sind: D, I, b' к [β, ξ, Α]. Mit Theorem 5-4-(vii) folgt D, I,

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