Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

5.2 Abgeschlossenheit der modelltheoretischen Konsequenzschaft 233

Theorem 5-22. Modelltheoretische Entsprechung zu AE

Wenn X к Α oder X к Β, dann X к ^rΑ ∨ Β^π.

Beweis: Sei X к Α oder X к Β. Sei D, I, b к X. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine
Belegung fur D. Nach Voraussetzung gilt sodann auch D, I, b к Α oder D, I, b к Β.
Mit Theorem 5-4-(iv) gilt in beiden Fallen D, I, b к ^rΑ ∨ Β^^l. Also gilt fur alle D, I, b,
fur die D, I, b к X gilt, auch D, I, b к ^rΑ ∨ Β^^l. Also X к ^rΑ ∨ Β^^l. ■

Theorem 5-23. Modelltheoretische Entsprechung zu AB

Wenn X к ^rΑ ∨ Β"¹ und Y к ^rΑ → Γ"¹ und Z к ^rΒ → Γ, dann X ∪ Y ∪ Z к Γ.

Beweis: Sei X к ^rΑ v Β^π und Y к ^rΑ → Γ und Z к ^r Β → Γ. Sei D, I, b к X ∪ Y ∪
Z. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung fur D und mit Theorem 5-10 gilt D,
I, b к X und D, I, b к Y und D, I, b к Z. Nach Voraussetzung gilt dann auch D, I, b
к ^rΑ V Β^^l und D, I, b к ^rΑ → Γ^^l und D, I, b к ^r Β → Γ^π. Mit Theorem 5-4-(iv) und
-(v) gelten dann: (i) D, I, b к Α oder D, I, b к Β und (ii) D, I, b к Α oder D, I, b к Γ
und (ii) D, I, b к Β oder D, I, b к Γ. Angenommen (der erste Fall von (i)), D, I, b к Α.
Dann muss mit (ii) D, I, b к Γ der Fall sein. Angenommen (der zweite Fall von (i)), D,
I, b к Β. Dann muss mit (iii) auch D, I, b к Γ der Fall sein. In beiden Fallen gilt also D,
I, b к Γ. Also gilt fur alle D, I, b, fur die D, I, b к X ∪ Y ∪ Z gilt, auch D, I, b к Γ.
Also X ∪ Y ∪ Z к Γ. ■

Es bietet sich an, eine Variante zu Theorem 5-23 als Korollar zu notieren, in der nicht
gefordert wird, dass bestimmte Subjunktionen modelltheoretische Konsequenzen von
bestimmten Aussagenmengen sein mussen.

Theorem 5-24. Modelltheoretische Entsprechung zu AB*

Wenn X к ^rΑ V Β^^l und Y к Γ und Α ∈ Y und Z к Γ und Β ∈ Z, dann X ∪ (Y\{Α}) ∪
(Z\ {Β}) к Γ.

Beweis: Sei X к ^rΑ v Β^^l und Y к Γ und Α ∈ Y und Z к Γ und Β ∈ Z. Nach Theorem
5-15 gelten dann Y\{Α} к ^rΑ → Γ^^l und Z\{Β} к ^rΒ → Γ^^l. Mit Theorem 5-23 folgt X
∪ (Y∖{Α}) ∪ (Z\ {Β}) к Γ. ■

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