Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



5.2 Abgeschlossenheit der modelltheoretischen Konsequenzschaft 235

b = rΛξΑ^l. Also gilt fur alle D, I, b: Wenn D, I, b = X, dann auch D, I, b к rΛξΑ^l.
Also
X = rΛξΑ^l. ■

Theorem 5-28. Modelltheoretische Entsprechung zu UB

Wenn θ GTERM, ξ VAR, Α FORM, wobei FV(Α) {ξ}, und X = rΛξΑ"1, dann X =
[θ, ξ, Α].

Beweis: Sei θ GTERM, ξ VAR, Α FORM, wobei FV(Α) {ξ}, und X = rΛξΑπ.
Sei
D, I, b = X. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung fur D und nach Vo-
raussetzung gilt
D, I, b = rΛξΑ^l. Dann gibt es nach Theorem 5-4-(vii) ein β
PARTT(Α), so dass fur alle b', die in β eine Belegungsvariante von b fur D sind, gilt D,
I, b` = [β, ξ, Α]. Sei b* = (b{(β, b(β))}) {(β, TD(θ, D, I, b))}. Offenbar ist b* in β
eine Belegungsvariante von
b fur D. Also D, I, b* = [β, ξ, Α]. Mit b*(β) = TD(θ, D, I,
b) und β TT(Α) folgt dann mit Theorem 5-9-(ii), dass D, I, b = [θ, ξ, Α]. Also gilt fur
alle
D, I, b: Wenn D, I, b = X, dann D, I, b = [θ, ξ, Α]. Also X = [θ, ξ, Α]. ■

Theorem 5-29. Modelltheoretische Entsprechung zu PE

Wenn θ GTERM, ξ VAR, Α FORM, wobei FV(Α) {ξ}, und X = [θ, ξ, Α], dann X
= rVξΑπ.

Beweis: Sei θ GTERM, ξ VAR, Α FORM, wobei FV(Α) {ξ}, und X = [θ, ξ,
Α]. Sei
D, I, b = X. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung fur D und nach
Voraussetzung gilt
D, I, b = [θ, ξ, Α]. Sei nun β PARTT(Α) und sei b * = (b{(β,
b(β))}) {(β, TD(θ, D, I, b))}. Dann ist b* in β eine Belegungsvariante von b fur D.
Mit
b *(β) = TD(θ, D, I, b), β TT(Α) und Theorem 5-9-(ii) folgt dann D, I, b * = [β, ξ,
Α]. Mit Theorem 5-4-(viii) folgt damit dann
D, I, b = rVξΑ^l. Also gilt fur alle D, I, b:
Wenn
D, I, b = X, dann D, I, b = rVξΑπ. Also X = rVξΑπ. ■



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