Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



236   5 Modelltheorie

Theorem 5-30. Modelltheoretische Entsprechung zu PB

Wenn β PAR, ξ VAR, Α FORM, wobei FV(Α) {ξ}, und X к rVξΑπ und Y к Β und
{[β, ξ, Α]}
Y und β TTFM((Y{[β, ξ, Α]}) {Α, Β}), dann X (Y{[β, ξ, Α]}) к Β.

Beweis: Seien β PAR, ξ VAR, Α FORM, wobei FV(Α) {ξ}, X к rVξΑπ, Y к
Β, {[β, ξ, Α]} Y und β TTFM((Y{[β, ξ, Α]}) {Α, Β}). Sei D, I, b к X (Y{[β,
ξ, Α]}). Dann ist (
D, I) ein Modell und b eine Belegung fur D und mit Theorem 5-10 gilt
D, I, b к X und D, I, b к Y{[β, ξ, Α]}. Nach Voraussetzung gilt dann auch D, I, b к
rV
ξΑ^l. Da β TT(Α), gibt es dann nach Theorem 5-8-(ii) ein b', das in β eine Bele-
gungsvariante von
b fur D ist, so dass D, I, b` к [β, ξ, Α]. Sei nun Δ' Y, also Δ'
Y{[β, ξ, Α]} oder Δ' = [β, ξ, Α]. Im ersten Fall gilt D, I, b к Δ'. Da aber β TT(Δ'), gilt
bFTT(Δ,) = b,∣'TT(Δ'). Mit Theorem 5-5-(ii) folgt dann D, I, b' к Δ'. Fur den zweiten
Fall gilt bereits
D, I, b' к [β, ξ, Α]. Also D, I, b' к Δ' fur alle Δ' Y und somit D, I, b'
к Y. Nach Voraussetzung gilt dann auch D, I, b' к Β. Da aber β TT(Β), gilt b ΓTT(Β)
=
b,∣'TT(Β). Mit Theorem 5-5-(ii) folgt dann D, I, b к Β. Also gilt fur alle D, I, b:
Wenn
D, I, b к X(Y{[β, ξ, Α]}), dann D, I, b к Β. Also X(Y{[β, ξ, Α]}) к Β.

Theorem 5-31. Modelltheoretische Entsprechung zu IE

Fur alle XGFORM und θ GTERM gilt: X к rθ = θ1.

Beweis: Sei XGFORM und θ GTERM. Gelte D, I, b к X. Dann ist (D, I) ein Mo-
dell und
b eine Belegung fur D. Mit (TD(θ, D, I, b), TD(θ, D, I, b)) ∈ {(a, a) | aD}
gilt
(TD(θ, D, I, b), TD(θ, D, I, b)) ∈ I(r=^l). Nach Theorem 5-4-(i) gilt dann D, I, b к
r
θ = θ^l. Also gilt fur alle D, I, b: Wenn D, I, b к X, dann D, I, b к rθ = θ^l. Also X к
r
θ = θπ. ■



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