5.2 Abgeschlossenheit der modelltheoretischen Konsequenzschaft 237
Theorem 5-32. Modelltheoretische Entsprechung zu IB
Wenn θ0, θ1 ∈ GTERM, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, und X к rθ0 = θ1∣ und
Y к [θo, ξ, Δ], dann X ∪ Y к [θι, ξ, Δ].
Beweis: Seien θ0, θ1 ∈ GTERM, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, und X к
rθ0 = θ1∣ und Y к [θ0, ξ, Δ]. Sei nun D, I, b к X ∪ Y. Dann ist (D, I) ein Modell und b
eine Belegung fur D und mit Theorem 5-10 gilt D, I, b к X und D, I, b к Y. Nach Vo-
raussetzung gilt dann D, I, b к rθ0 = θfl und D, I, b к [θ0, ξ, Δ]. Nach Theorem 5-4-(i)
gilt dann (TD(θ0, D, I, b), TD(θ1, D, I, b)) ∈ I(r=^l) = {(a, a) | a ∈ D}. Damit gilt
TD(θ0, D, I, b) = TD(θ1, D, I, b). Nach Theorem 5-7-(ii) gilt dann mit D, I, b к [θ0, ξ,
Δ] auch D, I, b к [θ1, ξ, Δ]. Also gilt fur alle D, I, b: Wenn D, I, b к X ∪ Y, dann D,
I, b к [θ1, ξ, Δ]. Also X ∪ Y к [θ1, ξ, Δ]. ■