Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

5.2 Abgeschlossenheit der modelltheoretischen Konsequenzschaft 237

Theorem 5-32. Modelltheoretische Entsprechung zu IB

Wenn θ₀, θ₁ ∈ GTERM, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, und X к ^rθ₀ = θ₁∣ und
Y к [θo, ξ, Δ], dann X ∪ Y к [θι, ξ, Δ].

Beweis: Seien θ₀, θ₁ ∈ GTERM, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, und X к
^rθ₀ = θ₁∣ und Y к [θ₀, ξ, Δ]. Sei nun D, I, b к X ∪ Y. Dann ist (D, I) ein Modell und b
eine Belegung fur D und mit Theorem 5-10 gilt D, I, b к X und D, I, b к Y. Nach Vo-
raussetzung gilt dann D, I, b к ^rθ₀ = θf^l und D, I, b к [θ₀, ξ, Δ]. Nach Theorem 5-4-(i)
gilt dann (TD(θ₀, D, I, b), TD(θ₁, D, I, b)) ∈ I(^r=^^l) = {(a, a) | a ∈ D}. Damit gilt
TD(θ₀, D, I, b) = TD(θ₁, D, I, b). Nach Theorem 5-7-(ii) gilt dann mit D, I, b к [θ₀, ξ,
Δ] auch D, I, b к [θ₁, ξ, Δ]. Also gilt fur alle D, I, b: Wenn D, I, b к X ∪ Y, dann D,
I, b к [θ₁, ξ, Δ]. Also X ∪ Y к [θ₁, ξ, Δ]. ■

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