Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

232   5 Modelltheorie

Y. Nach Voraussetzung gilt dann auch D, I, b = ^rΑ → Β^^l und D, I, b к ^rΒ → .V. Mit
Theorem 5-4-(v) gilt dann (i) D, I, b ≠ Α oder D, I, b = Β und zum anderen (ii) D, I, b
≠ Β oder D, I, b = Α. Angenommen (der erste Fall von (i)), D, I, b ≠ Α. Mit (ii) muss
dann auch D, I, b ≠ Β der Fall sein. Angenommen (der zweite Fall von (i)), D, I, b = Β.
Dann muss mit (ii) auch D, I, b = Α der Fall sein. Also gelten D, I, b = Α und D, I, b
= Β oder D, I, b ≠ Α und D, I, b ≠ Β. Mit Theorem 5-4-(vi) gilt dann D, I, b = ^rΑ →
Β. Also gilt fur alle D, I, b, fur die D, I, b = X ∪ Y gilt, auch D, I, b = ^rΑ → Β^^l. Al-
so X ∪ Y = ^rΑ →Β^π. ■

Es bietet sich an, eine Variante zu Theorem 5-19 als Korollar zu notieren, in der nicht
gefordert wird, dass bestimmte Subjunktionen modelltheoretische Konsequenzen von
bestimmten Aussagenmengen sein mussen.

Theorem 5-20. Modelltheoretische Entsprechung zu BE*

Wenn X = Β und Α ∈ X und Y = Α und Β ∈ Y, dann (X\{Α}) ∪ (Y\{Β}) = ^rΑ θ Β^^l.

Beweis: Sei X = Β und Α ∈ X und Y = Α und Β ∈ Y. Nach Theorem 5-15 gelten dann
X\{Α} = ^rΑ → Β^^l und Y∖{Β} = ^rΒ → Α^^l. Mit Theorem 5-19 folgt (X\{Α}) ∪ (Y∖{Β})
= ^rΑ → Β^^l. ■

Theorem 5-21. Modelltheoretische Entsprechung zu BB

Wenn X = ^rΑ θ Β"¹ oder X = ^rΒ θ Α"¹ und Y = Α, dann X ∪ Y = Β.

Beweis: Sei X = ^rΑ θ Β^^l oder X = ^rΒ θ Α^^l und Y = Α. Sei nun D, I, b = X ∪ Y.
Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung fur D und nach Theorem 5-10 gilt D, I,
b = X und D, I, b = Y. Nach Voraussetzung gilt dann auch D, I, b = Α. Sei nun X =
^rΑ θ Β^^l. Dann gilt D, I, b = ^rΑ θ Β^^l. Mit Theorem 5-4-(vi) gilt dann D, I, b = Α
und D, I, b = Β oder D, I, b ≠ Α und D, I, b ≠ Β. Sei nun X = ^r Β → Α^^l. Dann gilt
D, I, b = ^r Β → Α^^l. Mit Theorem 5-4-(vi) gilt dann wie im ersten Fall D, I, b = Α und
D, I, b = Β oder D, I, b ≠ Α und D, I, b ≠ Β. D, I, b ≠ Α und D, I, b ≠ Β kann aber
nicht der Fall sein, weil D, I, b = Α. Also D, I, b = Α und D, I, b = Β. Also gilt fur alle
D, I, b, fur die D, I, b = X ∪ Y gilt, auch D, I, b = Β. Also X ∪ Y = Β. ■

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