Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

2.3 VERS, VANS, VER und VAN 113

Beweis: Sei Q ∈ SEQ. Die Links-Rechts-Richtung ergibt sich unmittelbar mit Theorem
2-83. Gebe es nun fur die Rechts-Links-Richtung ein ®, so dass ® ein geschlossener Ab-
schnitt in Q ist und min( Dom(⁴IQ) ≤ Dom(Q)-2 und max(Dom(Φ)) = Dom(Q)-I. Dann
gilt: (mm(Dom(⁴!Q), Q_min(D_om(s))) ∈ VERS(QPDom(Q)-I)WERS(Q). Zunachst ist nam-
lich (min(Dom(Φ)), Q_min(D_om(s))) ∉ VERS(Q), da es mit ® selbst einen geschlossenen
Abschnitt ®' in Q gibt, so dass min(Dom(®')) ≤ min(Dom(Φ)) < max(Dom(®')).

Sei nun C ein geschlossener Abschnitt in QPDom(Q)-I. Dann gilt wegen C ⊆
QPDom(Q)-I und (Dom(Q)-1, Q_Dom(_Q)_-1) ∈ ®, dass ® £ C. Damit gilt aber mit Theorem
2-52: min(Dom(Φ)) ∉ Dom(C). Somit gibt es keinen geschlossenen Abschnitt C in Q, so
dass min(Dom(C)) ≤ min(Dom(Φ)) < max(Dom(C)) und daher gilt: (min(Dom(Φ)),
^min(Dom(s))) ∈ VERS(QPDom(Q)-I) und insgesamt: (min(Dom(Φ)), Qmin(Dom(<B))) ∈
VERS(QPDom(Q)-I)WERS(Q). ■

Theorem 2-85. VANS-Verringerung beim Ubergang von QPDom(Q)-I zu Q dann und nur
dann, wenn dabei ein neuer geschlossener Abschnitt erzeugt wird, dessen erstes Glied gerade
der nun unverfugbare Annahmesatz und das maximale Glied in VANS(QPDom(Q)-I) ist
Wenn Q ∈ SEQ, dann:

VANS(QPDom(Q)-I)WANS(Q) ≠ 0

gdw

Es gibt ein ®, so dass

(i)   ® ein geschlossener Abschnitt in Q ist,

(ii) min(Dom(Φ)) ≤ Dom(Q)-2 und max(Dom(Φ)) = Dom(Q)-I und

(iii) VANS(QPDom(Q)-I)WANS(Q) = {(min(Dom(Φ)), Qm_m(Dom(B))Q =
{(max(Dom(VANS(QP Dom(Q)-I))), Qmax(Dom(VANS(srDoms>i))))}.

Beweis: Sei Q ∈ SEQ. (L-R): Sei VANS(QPDom(Q)-I)WANS(Q) ≠ 0. Mit Theorem 2-73
gilt dann, dass auch VERS(QPDom(Q)-I)WERS(Q) ≠ 0. Damit gibt es mit Theorem 2-83
ein ®, so dass ® ein geschlossener Abschnitt in Q ist und min(Dom(Φ)) ≤ Dom(Q)-2
und max(Dom(Φ)) = Dom(Q)-I und VANS(QPDom(Q)-I)WANS(Q) = {(min(Dom(Φ)),
Qmin(Dom('B)))}.

Sodann ist auch mm( Dom(⁴IQ) = max(Dom(VANS(QPDom(Q)-1))). Zunachst ist
(min(Dom(Φ)), Q_min(D_om(S))) ∈ VANS(QPDom(Q)-I) und damit min(Dom(Φ)) ∈
Dom(VANS(QPDom(Q)-1)). Sei nun k ∈ Dom(V ANS(QPDom(Q)-I)) und sei
min(Dom(Φ)) ≤ k. Dann ist (k, Q_k) ∈ VANS(QPDom(Q)-I) und damit (k, Q_k) ∈
ANS(QPDom(Q)-I) und damit auch (k, Q_k) ∈ ANS(Q). Sodann ist min(Dom(Φ)) ≤ k <

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