Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

110   2 Verfugbarkeit von Aussagen

max(Dom(Φ)) ≤ Dom(⅛)-1. Widerspruch! Also ist min(Dom(Φ)) ≤ Dom(⅛)-2. Ware
nun max(Dom(Φ)) < Dom(⅛)-1. Dann ware min(Dom(Φ)) < max(Dom(Φ)) <
Dom(⅛)-1 und mit Theorem 2-64-(viii) und Theorem 2-62-(viii) ® ein geschlossener
Abschnitt in ⅛ΓDom(⅛)-1 und es ware min(Dom(Φ)) ≤ i < max(Dom(Φ)). Damit ware
aber (i, ⅛_i) ∉ VERS(⅛ΓDom(⅛)-1). Also gilt, dass max(Dom(Φ)) = Dom(⅛)-1 und damit
insgesamt, dass min(Dom(Φ)) ≤ Dom(⅛)-2 und max(Dom(Φ)) = Dom(⅛)-1.

Zu (ii): Sei C ein geschlossener Abschnitt in ⅛ΓDom(⅛)-1. Sei nun ΦΓDom(⅛)-1 ∩ C ≠
0. Dann ist ® ∩ C ≠ 0. Dann gilt mit Theorem 2-57: ® ⊆ C oder C ⊆ ®. Da aber C ⊆
⅛ΓDom(⅛)-1 und (Dom(⅛)-1, ∙‰_om(⅛)_-ι) ∈ ®, gilt ® ≤ C. Damit gilt C ⊂ ®. Damit gilt
mit Theorem 2-56-(i) und -(iii): min(Dom(Φ)) < min(Dom(C)) und max(Dom(C)) <
max(Dom(Φ)) = Dom(⅛)-1.

Zu (iii): Sei C* ein geschlossener Abschnitt in Д aber kein geschlossener Abschnitt in
⅛ΓDom(⅛)-1. Dann ist max(Dom(C*)) = Dom(⅛)-1. Es gilt namlich: max(Dom(C*)) ≤
Dom(⅛)-1. Ware nun max(Dom(C*)) < Dom(⅛)-1, dann ware mit Theorem 2-64-(viii)
und Theorem 2-62-(viii) C* entgegen der Voraussetzung ein geschlossener Abschnitt in
⅛ΓDom(⅛)-1. Also gilt Dom(⅛)-1 ≤ max(Dom(C*)) und somit insgesamt max(Dom(C*))
= Dom(⅛)-1 = max(Dom(Φ)). Damit ergibt sich mit Theorem 2-53, dass C* = ®.

Zu (iv): Sei (i, ⅛i) ∈ VERS(⅛ΓDom(⅛)-1)∖VERS(⅛). Dann gibt es einen geschlossenen
Abschnitt C in Д so dass min(Dom(C)) ≤ i < max(Dom(C)) und C kein geschlossener
Abschnitt in ⅛ΓDom(⅛)-1 ist. Dann gilt mit (iii): C = ® und somit min(Dom(Φ)) ≤ i <
max(Dom(Φ)) = Dom(⅛)-1. Damit gilt dann (i, ⅛i) ∈ {(j, ⅛_j∙) | min(Dom(Φ)) ≤ j <
Dom(⅛)-1}.

Zu (v): Sei zunachst (i, ⅛i) ∈ VERS(⅛). Dann gilt zunachst mit Theorem 2-81-(i): (i,
fti) ∈ VERS(⅛ΓDom(⅛)-1) ∪ {(Dom(⅛)-1, .‰m(⅛)-ι)}∙ Sodann gilt, dass es keinen ge-
schlossenen Abschnitt C in ⅛ gibt, so dass min(Dom(C)) ≤ i < max(Dom(C)). Da 'B nun
ein geschlossener Abschnitt in ⅛ ist, gilt dann mit (i): (i, ⅛i) ∉ {(j, ⅛_j) | min(Dom(Φ)) ≤ j
< Dom(⅛)-1}. Damit ergibt sich dann: (i, ⅛i) ∈ (VERS(⅛ΓDom(⅛)-1)∖{(j, ⅛j) |
min(Dom(Φ)) ≤ j < Dom(⅛)-1}) ∪ {(Dom(⅛)-1, ‰m(⅛>ι)}.

Sei nun umgekehrt (i, ⅛i) ∈ (VERS(⅛ΓDom(⅛)-1)∖{(j, ⅛j) | min(Dom(Φ)) ≤ j <
Dom(⅛)-1}) ∪ {(Dom(⅛)-1, ‰m(⅛>1)}. Sei zunachst (i, ⅛i) ∈ VERS(⅛∣'Dom(⅛)-1)∖{(j,
⅛j) | min(Dom(Φ)) ≤ j < Dom(⅛)-1}. Ware nun (i, ⅛i) ∉ VERS(⅛). Dann ware (i, ⅛i) ∈
VERS(⅛ΓDom(⅛)-1)∖VERS(⅛) und (i, ⅛i) ∉ {(j, ⅛_j) | min(Dom(Φ)) ≤ j < Dom(⅛)-1},
was im Widerspruch zu (iv) steht. Also ist im ersten Fall (i, ⅛i) ∈ VERS(.ħ). Sei nun

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