108 2 Verfugbarkeit von Aussagen
Zu (iv): Sei Γ ∈ VAN(A"A'). Dann gibt es ein i ∈ Dom(VANS(A"A')) und Γ =
A((A^A')j). Dann ist (i, (A"A')i) ∈ VANS(A"A') und mit (ii) ist (i, (A"A')i) ∈ VANS(A)
и {(Dom(A), A'0)}. Sei nun (i, (A"A')i) ∈ VANS(A). Dann ist i ∈ Dom(VANS(A)) und
^i = (A"A')i und somit Γ = A(Ai) ∈ VAN(A). Sei nun (i, (A"A')i) ∈ {(Dom(A), A'0)}.
Dann ist i = Dom(A) und (A"A')i = A'o und somit Γ = A(Ao) = K(A') ∈ {K(A')}. ■
Theorem 2-80. VERS, VANS, VER und VAN in Verkettungen mit beliebigen Sequenzen
Wenn A, A' ∈ SEQ, dann:
(i) VERS(AAA) ⊂ VERS(A) и {(Dom(A)+i, A'i) | i ∈ Dom(A')},
(ii) VAAS(AAA) ⊂ VANS(A) и {(Dom(A)+i, A'i) | i ∈ Dom(A')}.
Beweis: Beweis per Induktion uber Dom(A'). Fur Dom(A') = 0 folgt die Induktionsbasis
mit A"A' = A. Angenommen, fur alle A* ∈ SEQ mit Dom(A*) = j gilt das Theorem. Zu
(i) gilt also VERS(A"A*) ⊂ VERS(A) и {(Dom(A)+i, A*i) | i ∈ Dom(A*)} fur alle A*
∈ SEQ mit Dom(A*) = j. Sei nun Dom(A') = j+1. Dann ist Dom(A'iDom(A')-1) = j. Al-
so ist nach I.V. VERS(A"(A'iDom(A')-1)) ⊂ VERS(A) и {(Dom(A)+i,
(A'iDom(A')-1)i) | i ∈ Dom(A'iDom(A')-1)} = VERS(A) и {(Dom(A)+i, A'i) | i ∈
Dom(A')-1}. Nun ist VERS(A"A') = VERS(A"(A'iDom(A')-1)"{(0, ‰m(⅛∙)-1)}). Nach
Theorem 2-79 ist aber VERS(A"(A'i Dom(A')-1)" {(0, A'Dom(A')—i)}) ⊂
VERS(A"(A'iDom(A')-1)) и {(Dom(A"(A'iDom(A')-1)), A⅛A>1)} =
VERS( A"( A'i Dom( A')-1)) и {(Dom(A)+(Dom(A')-1), A'Dom(A')-i)}. Also insgesamt
VERS(A"A') ⊂ VERS(A) и {(Dom(A)+i, A'i) | i ∈ Dom(A')-1} и
{(Dom(A)+(Dom(A')-1), A'Dom(A')—i)} und damit VERS(AAA) ⊂ VERS(A) и
{(Dom(A)+i, A'i) | i ∈ Dom(A')}. Der Beweis zu (ii) verlauft analog. ■
Theorem 2-81. VERS, VANS, VER und VAN in Beschrankungen auf Dom(A)-1
Wenn A ∈ SEQ, dann:
(i) VERS(A) ⊂ VERS(AiDom(A)-1) и {(Dom(A)-1, ADom(A)-1)},
(ii) VANS(A) ⊂ VANS(AiDom(A)A) и {(Dom(A)-1, ADom(A)-1)},
(iii) VER(A) ⊂ VER(AiDom(A)A) и {A‰m(A)-1)},
(iv) VAN(A) ⊂ VAN(AiDom(A)A) и {A‰m(A)-1)}.
Beweis: Sei A ∈ SEQ. Sei A = 0. Dann ist VERS(A) и VANS(A) и VER(A) и VAN(A)
= 0 und damit gilt die Behauptung. Sei nun A ≠ 0. Dann ist A = (AiDom(A)-1)"{(0,
Anom(A)-ι)} und die Behauptung ergibt sich mit Theorem 2-79. ■