Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

108   2 Verfugbarkeit von Aussagen

Zu (iv): Sei Γ ∈ VAN(A"A'). Dann gibt es ein i ∈ Dom(VANS(A"A')) und Γ =
A((A^A')j). Dann ist (i, (A"A')i) ∈ VANS(A"A') und mit (ii) ist (i, (A"A')i) ∈ VANS(A)
и {(Dom(A), A'₀)}. Sei nun (i, (A"A')_i) ∈ VANS(A). Dann ist i ∈ Dom(VANS(A)) und
^i = (A"A')_i und somit Γ = A(A_i) ∈ VAN(A). Sei nun (i, (A"A')_i) ∈ {(Dom(A), A'₀)}.
Dann ist i = Dom(A) und (A"A')_i = A'o und somit Γ = A(Ao) = K(A') ∈ {K(A')}. ■

Theorem 2-80. VERS, VANS, VER und VAN in Verkettungen mit beliebigen Sequenzen
Wenn A, A' ∈ SEQ, dann:

(i) VERS(AAA) ⊂ VERS(A) и {(Dom(A)+i, A'i) | i ∈ Dom(A')},
(ii) VAAS(AAA) ⊂ VANS(A) и {(Dom(A)+i, A'i) | i ∈ Dom(A')}.

Beweis: Beweis per Induktion uber Dom(A'). Fur Dom(A') = 0 folgt die Induktionsbasis
mit A"A' = A. Angenommen, fur alle A* ∈ SEQ mit Dom(A*) = j gilt das Theorem. Zu
(i) gilt also VERS(A"A*) ⊂ VERS(A) и {(Dom(A)+i, A*_i) | i ∈ Dom(A*)} fur alle A*
∈ SEQ mit Dom(A*) = j. Sei nun Dom(A') = j+1. Dann ist Dom(A'iDom(A')-1) = j. Al-
so ist nach I.V. VERS(A"(A'iDom(A')-1)) ⊂ VERS(A) и {(Dom(A)+i,
(A'iDom(A')-1)_i) | i ∈ Dom(A'iDom(A')-1)} = VERS(A) и {(Dom(A)+i, A'_i) | i ∈
Dom(A')-1}. Nun ist VERS(A"A') = VERS(A"(A'iDom(A')-1)"{(0, ‰m(⅛∙)-1)}). Nach
Theorem 2-79 ist aber VERS(A"(A'i Dom(A')-1)" {(0, A'D_om(_A')—i)})    ⊂

VERS(A"(A'iDom(A')-1)) и    {(Dom(A"(A'iDom(A')-1)), A⅛A>1)} =

VERS( A"( A'i Dom( A')-1)) и {(Dom(A)+(Dom(A')-1), A'_Dom(A')-i)}. Also insgesamt
VERS(A"A') ⊂ VERS(A) и {(Dom(A)+i, A'i) | i ∈ Dom(A')-1} и
{(Dom(A)+(Dom(A')-1), A'D_om(_A')—i)} und damit VERS(AAA) ⊂ VERS(A) и
{(Dom(A)+i, A'_i) | i ∈ Dom(A')}. Der Beweis zu (ii) verlauft analog. ■

Theorem 2-81. VERS, VANS, VER und VAN in Beschrankungen auf Dom(A)-1

Wenn A ∈ SEQ, dann:

(i)   VERS(A) ⊂ VERS(AiDom(A)-1) и {(Dom(A)-1, ADom(A)-1)},

(ii)   VANS(A) ⊂ VANS(AiDom(A)A) и {(Dom(A)-1, ADom(A)-1)},

(iii) VER(A) ⊂ VER(AiDom(A)A) и {A‰m(A)-1)},
(iv) VAN(A) ⊂ VAN(AiDom(A)A) и {A‰m(A)-1)}.

Beweis: Sei A ∈ SEQ. Sei A = 0. Dann ist VERS(A) и VANS(A) и VER(A) и VAN(A)
= 0 und damit gilt die Behauptung. Sei nun A ≠ 0. Dann ist A = (AiDom(A)-1)"{(0,
An_om(A)-ι)} und die Behauptung ergibt sich mit Theorem 2-79. ■

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