Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

2.3 VERS, VANS, VER und VAN 111

(i, ⅛i) ∈ {(Dom(⅛)-1, ^Dom(⅛)-1)}. Dann ist i = Dom(⅛)-1 und A(‰m<⅛)-1) = K(⅛) und
damit gilt mit Theorem 2-82 auch im zweiten Fall: (i, ⅛i) ∈ VERS(.ħ).

Zu (vi): Sei zunachst (i, ⅛i) ∈ VANS(⅛ΓDom(⅛)-1))∖VANS(⅛). Dann ist (i, ⅛i) ∈
(VERS(⅛ΓDom(⅛)-1)   ∩ ANS(⅛tDom(⅛)-1))∖(VERS(⅛)   ∩ ANS(⅛)). Da

ANS(⅛ΓDom(⅛)-1) ⊆ ANS(⅛) ist (i, ⅛i) ∈ ANS(⅛) und somit (i, ⅛i) ∉ VERS(⅛) und
insgesamt (i, ⅛i) ∈ VERS(⅛ΓDom(⅛)-1)∖VERS(⅛). Somit gilt mit (iv) und (i): (i, ⅛i) ∈
®. Dann ist (i, ⅛i) ∈ ANS(⅛) ∩ ® und somit gibt es mit Theorem 2-47 ein C ⊆ ®, so
dass C ein geschlossener Abschnitt in .ħ ist und i = min(Dom(C)). Wegen (i, ⅛i) ∈
VERS(⅛ΓDom(⅛)-1) ist C dann kein geschlossener Abschnitt in ⅛ΓDom(⅛)-1 und daher
mit (iii) C = ® und daher i = min(Dom(C)) = min(Dom(Φ)). Dann ist (i, ⅛i) =
(min(Dom(φ)), ⅛min(Dom(<B))).

Nun zum Nachweis von     {(min(Dom(Φ)),    ⅛_min(D_om(S)))}     ⊆

VANS(⅛ΓDom(⅛)-1)∖VANS(⅛). Zunachst ist (mrn(Dom(Φ)), ⅛Dom(<B))) ∈ ANS(⅛).
Angenommen, es gabe einen geschlossenen Abschnitt C in ⅛ΓDom(⅛)-1, so dass
min(Dom(C)) ≤ min(Dom(Φ)) < max(Dom(C)). Dann ist C ∩ ΦΓDom(⅛)-1 ≠ 0. Damit
wurde aber mit (ii) gelten: min(Dom(Φ)) < min(Dom(C)). Widerspruch! Also gibt es kei-
nen entsprechenden geschlossenen Abschnitt C in ⅛ΓDom(⅛)-1 und somit ist
(mιn(Dom('B)), ⅛_min(D_om(<B))) ∈ VANS(⅛tDom(⅛)-1). Sodann gibt es mit ® selbst einen
geschlossenen Abschnitt ®' in Д so dass min(Dom(®')) ≤ min(Dom(Φ)) <
max(Dom(®')) und somit ist (min(Dom(Φ)), ⅛_mi∏(D_0m(S))) ∉ VANS(⅛) und daher insge-
samt (min(Dom(Φ)), ⅛min(Dom(<B))) ∈ VANS(-Ы Dom($ )-1) ∖VANS(^).

Zu (vii): Sei zunachst (i, ⅛i) ∈ VANS(⅛ΓDom(⅛)-1). Dann ist (i, ⅛i) ∈ VANS(⅛) oder
(i, ⅛i) ∉ VANS(⅛). Sei nun (i, ⅛i) ∉ VANS(⅛). Dann ist (i, ⅛i) ∈
VANS(⅛ΓDom(⅛)-1)∖VANS(⅛) und damit mit (vi): (i, ⅛i) ∈ {(min(Dom(®)),
^_min(Do_m(s)))}. Also gilt in beiden Fallen: (i, ⅛i) ∈ VANS(⅛) ∪ {(min(Dom(Φ)),
^min(Dom(φ)))}.

Sei nun umgekehrt (i, ⅛i) ∈ VANS(⅛) ∪ {(min(Dom(Φ)), ⅛_min(Do_m(S)))}. Sei nun zu-
nachst (i, ⅛i) ∈ VANS(⅛). Dann ist (i, ⅛i) ∈ ANS(⅛). Sodann gilt mit Theorem 2-81-(ii):
(i, ⅛i) ∈ VANS(⅛∣'Dom(⅛)-1) ∪ {(Dom(⅛)-1, ‰m(⅛>1)}. Nun gilt aber mit (i)
max(Dom(Φ)) = Dom(⅛)-1 und da ® ein geschlossener Abschnitt in ⅛ und damit ein
SE- oder NE- oder EA-artiger Abschnitt in ⅛ ist, ist damit mit Theorem 2-29 (Dom(⅛)-1,
^Dom(⅛)-1) ∉ ANS(⅛) und somit ist (i, ⅛i) ∉ {(Dom(⅛)-1, ‰m(⅛>1)}. Damit ist dann

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