Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

114   2 Verfugbarkeit von Aussagen

Dom(⅛)-1 = max(Dom(Φ)). Damit ist dann k ∈ ANS(⅛) ∩ Dom(®). Mit Theorem 2-66
ist dann k = min(Dom(Φ)) oder es gibt ein ¢, so dass k = min(Dom(C)) und
min(Dom(Φ)) < min(Dom(C)) < max(Dom(C)) < max(Dom(Φ)) = Dom(⅛)-1. Der zwei-
te Fall ist allerdings ausgeschlossen, da es sonst mit Theorem 2-64-(viii) und Theorem
2-62-(viii) einen geschlossenen Abschnitt C mit min(Dom(C)) ≤ k < max(Dom(C)) in
⅛ΓDom(⅛)-1 gabe und damit (k, ⅛) ∉ VANS(⅛ΓDom(⅛)-1) gelten wurde.
Also ist k = min(Dom(Φ)). Damit ist gezeigt, dass min(Dom(Φ)) =
max(Dom(VΛNS(<ιfl)om(ʃɔ)-1))) und damit gilt {(mιn(Dom('B)), ⅛_min(D_om(s)))} =
{(max(Dom(VANS(⅛∣'Dom(⅛)-1))), ‰j>o,,,,∙vANS(⅛rι¹om")-1))))}.

(R-L): Gibt es umgekehrt einen geschlossenen Abschnitt ® in ħ. fur den
VANS(^Dom(^)-1))∖VANS(^) = {(min(Dom(Φ)), ⅛Dom(<B)))}, dann ist
VANS(⅛ΓDom(⅛)-1))∖VANS(⅛) ≠ 0. ■

Theorem 2-86. Ist das letzte Glied eines geschlossenen Abschnitts ® in ^ mit dem letzten
Glied von ^ identisch, dann ist das erste Glied von ® das maximale Glied von
VANS(⅛fDom(⅛)-1) und in Й nicht mehr verfugbar

Wenn ® ein geschlossener Abschnitt in ʃɔ ist und max(Dom(Φ)) = Dom(⅛)-1, dann gilt:
VANS(^Dom(⅛)-1)∖VANS(⅛)        =        {(min(Dom(S)), ⅛_mm(Dom(S)))}        =

{(max(Dom(VANS(^f Dom(Q)-1))), ‰χ(Dom(VANS(WomW)-1))))}∙

Beweis: Sei ® ein geschlossener Abschnitt in .ħ und max(Dom(Φ)) = Dom(⅛)-1. Dann
ist ® ein SE- oder NE- oder EA-artiger Abschnitt in .ħ und .ħ ∈ SEQ. Dann gilt mit
Theorem 2-31: min(Dom(Φ)) < max(Dom(Φ)) = Dom(⅛)-1 und somit min(Dom(Φ)) ≤
Dom(<n)-2. Damit ergibt sich mit Theorem 2-84, dass VERS(⅛ΓDom(⅛))∖VERS(⅛) ≠ 0
ist. Daraus ergibt sich wiederum mit Theorem 2-83-(vi), dass es ein C gibt, so dass C ein
geschlossener Abschnitt in .ħ ist und VANS(⅛ΓDom(⅛)-1)∖VANS(⅛) = {(min(Dom(C)),
⅛_min(Do_m(C)))}. Nun ist ® ein geschlossener Abschnitt in .ħ und mit max(Dom(Φ)) =
Dom(⅛)-1 ist ® kein Abschnitt und damit auch kein geschlossener Abschnitt in
⅛ΓDom(⅛)-1. Damit gilt mit Theorem 2-83-(iii): ® = C und damit
VANS(⅛ΓDom(⅛)-1)∖VANS(⅛) = {(min(Dom(Φ)), ⅛_min(D_om(S)))}. Damit ergibt sich mit
Theorem 2-85, dass VANS(⅛ΓDom(⅛)-1)∖VANS(⅛) = {(min(Dom('E)), ⅛_min(D_om(s)))} =
{(max(Dom(VANS(⅛∣'Dom(⅛)-1))), ⅛max(Dom(VANS(⅛rDom(⅛)-1))))}. ■

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