Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

2.3 VERS, VANS, VER und VAN 109

Theorem 2-82. Die Konklusion ist immer verfugbar

Wenn S ∈ SEQ∖{0}, dann ist K(S) in S bei Dom(S)-1 verfugbar.

Beweis: Sei S ∈ SEQ∖{0}. Dann gilt fur alle geschlossenen Abschnitte ∖λ in S:
nuιx(Dom(S)) ≤ Dom(S)-1 und also gibt es keinen geschlossenen Abschnitt ∖λ in S, so
dass niin(Dom(S)) ≤ Dom(S)-1 < max(Dom(S)). Also ist A(SDom(S)-ι) = K(S) in S bei
Dom(S)-1 verfugbar. ■

Theorem 2-83. Zusammenhang von Nichtverfugbarkeit und der Entstehung eines geschlosse-
nen Abschnitts beim Ubergang von Si^Dom(S)-1 auf S

Wenn S ∈ SEQ und VERS(SfDom(S)-1)∖ VERS(S) ≠ 0, dann:

Es gibt ein B, so dass B ein geschlossener Abschnitt in S ist und

(i)   min(Dom(B)) ≤ Dom(S)-2 und max(Dom(B)) = Dom(S)-1,

(ii) Fur alle geschlossenen Abschnitte C in Si^Dom(S)-1 gilt: B[^Dom(S)-1 ∩ C = 0 oder
min(Dom(B)) < min(Dom(C)) und max(Dom(C)) < Dom(S)-1,

(iii) Fur alle geschlossenen Abschnitte C* in S gilt: Wenn C* kein geschlossener Ab-
schnitt in Si^Dom(S)-1 ist, dann ist C* = B,

(iv) VERS(Sl'Dom(S)-1)∖VERS(S) ⊆ {(j, Sj) | min(Dom(B)) ≤ j < Dom(S)-1},

(v) VERS(S) = (VERS(Si^Dom(S)-1)∖{(j, S_j) | min(Dom(B)) ≤ j < Dom(S)-1}) ∪
{(Dom(S)-1, ‰m_w)-1)},

(vi) VANS(SfDom(S)-1)∖VANS(S) = {(min(Dom(B)), Sm_m(Dom(B)))},

(vii) VANS(Sl'Dom(S)-1) = VANS(S) ∪ {(min(Dom(B)), Smin(DomB)))},

(viii) VER(Si^Dom(S)-1)∖VER(S) ⊆ {A(S_j) | min(Dom(B)) ≤ j < Dom(S)-1},

(ix) VERStDom(SH) ⊆ {A(Sj) | j ∈ Dom(VERS(S)fDom(S)-1)} ∪

{A(Sj) | min(Dom(B)) ≤ j < Dom(S)-1},

(x)   VAN(SfDom(S)-1)∖VAN(S) ⊆ {A(Smn(Dom(B)))} und

(xi) VAN(S∣^,Dom(S)-1) = VAN(S) ∪ {‰om_s)))}.

Beweis: Sei S ∈ SEQ und sei VERS(SΓDom(S)-1)WERS(S) ≠ 0. Dann gibt es nach
Definition 2-28 ein i ∈ Dom(S)-1, so dass (i, Si) ∈ VERS(SΓDom(S)-1)∖VERS(S).
Dann ist SΓDom(S)-1 ≠ 0 und damit S ≠ 0.

Dann gilt nach Definition 2-28 und Definition 2-26, dass es kein B' gibt, so dass B' ein
geschlossener Abschnitt in SΓDom(S)-1 ist und min(Dom(B')) ≤ i < max(Dom(B')) und
dass es ein B gibt, so dass B ein geschlossener Abschnitt in S ist und min(Dom(B)) ≤ i
< max(Dom(B)).

Zu (i): Es ist zunachst max(Dom(B)) ≤ Dom(S)-1. Ware nun Dom(S)-2 <
min(Dom(B)). Dann ware mit Theorem 2-44 Dom(S)-1 ≤ min(Dom(B)) <

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