Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

3.2 Ableitungsbegriff und deduktive Konsequenzschaft 127

3.2 Ableitungsbegriff und deduktive Konsequenzschaft

Mit der Etablierung des Kalkuls bleibt nun noch die Aufgabe, einen entsprechenden Ab-
Ieitungs- und Konsequenzbegriff zu etablieren und dessen Adaquatheit zu zeigen. Da Ab-
Ieitungs- und Konsequenzschaft nicht an die tatsachliche Auβerung von Sequenzen, son-
dern nur an deren Auβerbarkeit gemaβ den Regeln gebunden sein sollen, ist der
Ableitungsbegriff dabei nicht unter Ruckgriff auf die vollen Regeln des Kalkuls - die ja
jeweils die Auβerung einer Sequenz verlangen -, sondern unter alleinigem Ruckgriff auf
deren jeweiligen sequenzenspezifischen und auβerungsunabhangigen Anteil zu etablieren.

Dazu wird zunachst fur jede Regel des Kalkuls eine Funktion definiert, die einer Se-
quenz f jeweils die Menge der Sequenzen zuordnet, zu denen ein Autor, der f geauβert
hat, f nach der entsprechenden Regel fortsetzen darf (Definition 3-1 bis Definition 3-17).
Im Ausgang von diesen Funktionen wird dann die Funktion RGF etabliert, die einer Se-
quenz f die Menge regelgemaβen Fortsetzungen von f zuordnet, also die Menge der
Sequenzen, zu denen ein Autor, der f geauβert hat, f nach einer der Regeln des Kalkuls
fortsetzen durfte (Definition 3-18). Darauf aufbauend wird dann die Menge der regelge-
maβen Sequenzen, RGS, als die Menge der Sequenzen definiert, von denen jede ihrer
nicht-leeren Beschrankungen eine regelgemaβe Fortsetzung der nachst kleineren Be-
schrankung ist (Definition 3-19). Eine Ableitung einer Aussage Γ aus einer Aussagen-
menge X wird dann ein nicht-leeres RGS-Element sein, fur das gilt: ∣<(ħ) = Γ und
VAN(⅛) = X (Definition 3-20). Sodann erfolgt die Einfuhrung des deduktiven Konse-
quenzbegriffs und umgebender Begrifflichkeiten fur den Kalkul, wobei eine Aussage Γ
genau dann deduktive Konsequenz einer Aussagenmenge X sein wird, wenn es eine Ab-
leitung von Γ aus einem Y ⊆ X gibt (Definition 3-21).

Wie angekundigt, werden nun zunachst zu den Regeln in 3.1 analoge Funktionen defi-
niert:

Definition 3-1. Annahmefunktion (AF)

AF = {(⅛ X) | ⅛ ∈ SEQ und X = {⅛' | Es gibt Γ ∈ GFORM, so dass
⅛' = ^ ∪ {(Dom(M ^rSei Γ)}}}.

Vgl. Handlungsanleitung 3-1. Da die Menge der geschlossenen Formeln nicht leer ist,
ergibt sich als Korollar, dass auch AE(⅛) fur keine Sequenz f leer ist.

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