3.2 Ableitungsbegriff und deduktive Konsequenzschaft 127
3.2 Ableitungsbegriff und deduktive Konsequenzschaft
Mit der Etablierung des Kalkuls bleibt nun noch die Aufgabe, einen entsprechenden Ab-
Ieitungs- und Konsequenzbegriff zu etablieren und dessen Adaquatheit zu zeigen. Da Ab-
Ieitungs- und Konsequenzschaft nicht an die tatsachliche Auβerung von Sequenzen, son-
dern nur an deren Auβerbarkeit gemaβ den Regeln gebunden sein sollen, ist der
Ableitungsbegriff dabei nicht unter Ruckgriff auf die vollen Regeln des Kalkuls - die ja
jeweils die Auβerung einer Sequenz verlangen -, sondern unter alleinigem Ruckgriff auf
deren jeweiligen sequenzenspezifischen und auβerungsunabhangigen Anteil zu etablieren.
Dazu wird zunachst fur jede Regel des Kalkuls eine Funktion definiert, die einer Se-
quenz f jeweils die Menge der Sequenzen zuordnet, zu denen ein Autor, der f geauβert
hat, f nach der entsprechenden Regel fortsetzen darf (Definition 3-1 bis Definition 3-17).
Im Ausgang von diesen Funktionen wird dann die Funktion RGF etabliert, die einer Se-
quenz f die Menge regelgemaβen Fortsetzungen von f zuordnet, also die Menge der
Sequenzen, zu denen ein Autor, der f geauβert hat, f nach einer der Regeln des Kalkuls
fortsetzen durfte (Definition 3-18). Darauf aufbauend wird dann die Menge der regelge-
maβen Sequenzen, RGS, als die Menge der Sequenzen definiert, von denen jede ihrer
nicht-leeren Beschrankungen eine regelgemaβe Fortsetzung der nachst kleineren Be-
schrankung ist (Definition 3-19). Eine Ableitung einer Aussage Γ aus einer Aussagen-
menge X wird dann ein nicht-leeres RGS-Element sein, fur das gilt: ∣<(ħ) = Γ und
VAN(⅛) = X (Definition 3-20). Sodann erfolgt die Einfuhrung des deduktiven Konse-
quenzbegriffs und umgebender Begrifflichkeiten fur den Kalkul, wobei eine Aussage Γ
genau dann deduktive Konsequenz einer Aussagenmenge X sein wird, wenn es eine Ab-
leitung von Γ aus einem Y ⊆ X gibt (Definition 3-21).
Wie angekundigt, werden nun zunachst zu den Regeln in 3.1 analoge Funktionen defi-
niert:
Definition 3-1. Annahmefunktion (AF)
AF = {(⅛ X) | ⅛ ∈ SEQ und X = {⅛' | Es gibt Γ ∈ GFORM, so dass
⅛' = ^ ∪ {(Dom(M rSei Γ)}}}.
Vgl. Handlungsanleitung 3-1. Da die Menge der geschlossenen Formeln nicht leer ist,
ergibt sich als Korollar, dass auch AE(⅛) fur keine Sequenz f leer ist.