Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

148   3 Der Redehandlungskalkul

Theorem 3-23. VANS-Verringerung bei und nur bei SE, NE undPB

Wenn S ∈ SEQ und S' ∈ RGF(S), dann:

VANS(S') ⊂ VANS(S)

VANS∣4) VANSlff) = {(max(Dom(V ANS(S))), Sm.x(D„m(VAN_e)} und S' ∈ SEF(S) и
NEF(S) и PBF(S).

Beweis: Sei S ∈ SEQ und S' ∈ RGF(S)∙ Die Rechts-Links-Richtung ergibt sich mit den
Klauseln (iv) und (v) von Theorem 3-19, Theorem 3-20 und Theorem 3-21.

Sei nun fur die Links-Rechts-Richtung VANS(S') ⊂ VANS(S)∙ Zunachst ist mit S' ∈
RGF(S) und mit Theorem 3-1 S' ∈ SEQ. Mit Theorem 3-5 ist dann S'ΓDom(S')-1 = S
und damit Dom(S) = Dom(S')-1∙ Damit gilt wegen VANS(S') ⊂ VANS(S) mit Theorem
2-85, dass es einen geschlossenen Abschnitt A in S' gibt, so dass min(Dom(A)) ≤
Dom(S')-2 = Dom(S)-I und max(Dom(A)) = Dom(S')-1 = Dom(S) und
VANS(S)∖VANS(S') = {(min(Dom(A)), S'mm(Dom(a)))} = {(max(Dom(V ANS(S))),
S'max(Dom(VANS(S))))}∙ Zu zeigen ist nun noch, dass S' ∈ SEF(S) ∪ NEF(S) ∪ PBF(S)∙
Nun gilt:

VANS(S'fmax(Dom(A))) = VANS(S'[^Dom(S)) = VANS(S)∙

Ferner gilt mit Theorem 2-61, dass A ein SE- oder NE- oder PB-geschlossener Abschnitt
in S' ist∙ Sei nun A ein SE-geschlossener Abschnitt in S'∙ Dann gilt mit Theorem 2-91:

a)   (min(Dom(A)), S'mi∏(Dom<α))) = (min(Dom(A)), Sm-.. d m a ) ∈ VANS(S),

b)   A(S Dom(S)-1) = A(SDom(S)-1) = K(S),

c) Es gibt kein r mit min(Dom(A)) < r ≤ Dom(S)-1, so dass (r, S'_r) = (r, Sr) ∈
VANS(S), und

^{d)   S} Dom(S) = ^rAlso A(Smin(Dom(A))) → K(S)"¹ ∙

Damit ist nach Definition 3-2 S' ∈ SEF(S)∙ Sei nun A ein NE-geschlossener Abschnitt in
S'∙ Dann gilt mit Theorem 2-92, dass es ein i ∈ Dom(S') und Γ ∈ GFORM gibt, so dass:

a)   min(Dom(A)) ≤ i < Dom(S),

b)   (min(Dom(A)), S'min(Dom<α))) = (min(Dom(A)), Smm(Dom(a))) ∈ VANS(S),

c)   A(S'i) = A(Si) = Γ und A(S Dom(S)-1) = A^(SDom(S)-1) = ^{Г— Г}

A(S'.) = A(Si) = r-Γ und A(S'D,m(_β).,) = A(SD,_m⅛)-1) = Γ,

d)   (., S.) ∈ VERS(S),

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