Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

1.1 Inventar und Syntax

^rμ*o...μ*_m*√

^rμ^μ°0 . μ^μθAUSL(μo)-1 . μ^μk^-10 . μ^μk^-1AUSL(μk-O-i^π

^rμ'^μ °°. μ'^{μ 0}AusL(μ'°)-ι. μ'^{μ k}'^-1°. μ'^{μ k}'^¹AusL(μ⅛.ι>ι^π

^rμ'*o∙∙∙μ'*m√.

Mit Postulat 1-2-(i) gilt dann fur alle s < m = m': μ*_s = μ'*_s. Sodann ist i = ° oder ° < i.
sei i = 0. Nach Annahme ist AusL(μ0) = AusL(μ'0). sei nun s < AusL(μ0). Dann ist s <
AuSL(μ'°) und s < m = m'. Dann ist μ*s = μ^μ°s und μ'*s = μ'^μ'°s. Damit ist dann μ^μ°s = μ'^μ'°s.
Also gilt fur alle s < AuSL(μ°) = AuSL(μ'°), dass μ^μ°s = μ'^μ'°s und damit nach Postulat
1-2-(i), dass μ° = ^rμ^μo°. μ^μ°AusL(μ°)-Γ = ^rμ'^μ'⁰°. μ'^μ'⁰AusL(μ'°)-Γ = μ'°. Damit gilt a) fur i = °.
Sodann gilt bei i = ° fur alle j ≤ i, dass j = i = ° und damit gilt in diesem Fall auch b).

sei nun ° < i. Aus der Annahme, dass AusL(μj) = AusL(μ'j) fur alle j ≤ i, ergibt sich:
∑n = ₀ AUSL(μ_n) = ∑n = ₀ AUSL(μ'_n). Sodann gilt mit Postulat 1-3: Es gibt t ∈ N∖{°} und
{μ⁺°, ., μ⁺_t-ι} ⊆ GAUS, so dass ^rμ₀...μ_i⁷¹ = ^rμ⁺₀...μ⁺_t-ι^^l und t = ∑ⁱ_n = ₀ AUSL(μ_n) und
fur alle s < t: μ⁺s = μ^μ°s, falls s < AuSL(μ°), und μ⁺s = μ^μl°r° fur die eindeutig bestimmten
l°, r°, fur die ° < l° < i+1, r° < AUSL(μι°) und s = (∑^l_n° Z¹₀ AUSL(μn))+r°, falls AUSL(μ°)
≤ s, und es gibt t' ∈ N∖{°} und {μ'⁺°, ., μ'⁺_t∙-ι} ⊆ GAUS, so dass ^rμ'°.μ'_i^π =
^rμ'⁺°. μ'⁺t'_-ι^^l und t' = ∑n = ₀ AUSL(μ'_n) und fur alle s < t': μ'⁺_s = μ'^μ'°_s, falls s < AUSL(μ'°),
und μ'⁺s = μ'^μ'l'°r'° fur die eindeutig bestimmten l'°, r'°, fur die ° < l'° < i+1, r'° <
AUSL(μ'_l'°) und s = (∑n°-0 AUSL(μ'_n))+r'°, falls AUSL(μ'°) ≤ s. Dann ist t =
∑n = 0 AUSL(μn) = ∑n = 0 AUSL(μ'n) = t'. Wegen ∑_n = 0 AUSL(μn) ≤ ∑n^-=¹0 AUSL(μn)
gilt zudem t ≤ m = m'.

Sei nun s < t. Dann ist s < t' und s < m = m'. Sodann ist s < AUSL(μ°) oder AUSL(μ°) ≤
s. Sei nun s < AUSL(μ°). Wegen ° < i ist dann nach Annahme AUSL(μ°) = AUSL(μ'°)
und damit auch s < AUSL(μ'°). Dann ist μ*s = μ^μ°s = μ⁺s und μ'*s = μ'^μ'°s = μ'⁺s. Wegen μ*s
= μ'*s ist damit μ⁺s = μ'⁺s. Sei nun AUSL(μ°) = AUSL(μ'°) ≤ s. Dann gilt:

μ*s = μ^μlr fur die eindeutig bestimmten l, r, fur die ° < l < k, r < AUSL(μl) und s =
(∑n-=¹ 0 AUSL(μn))+r,
und

μ'*s = μ'^μ'l'r' fur die eindeutig bestimmten l', r', fur die ° < l' < k', r' < AUSL(μ'l') und s =
(∑n^-=¹0 AUSL(μ'_n))+r',
und

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