Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



1.1 Inventar und Syntax

rμ*o...μ*m*√

rμμ°0 . μμθAUSL(μo)-1 . μμk-10 . μμk-1AUSL(μk-O-iπ

rμ'μ °°. μ'μ 0AusL(μ'°)-ι. μ'μ k'-1°. μ'μ k'^1AusL(μ⅛.ι>ιπ

rμ'*o∙∙∙μ'*m√.

Mit Postulat 1-2-(i) gilt dann fur alle s < m = m': μ*s = μ'*s. Sodann ist i = ° oder ° < i.
sei i = 0. Nach Annahme ist AusL(μ
0) = AusL(μ'0). sei nun s < AusL(μ0). Dann ist s <
AuSL(μ'
°) und s < m = m'. Dann ist μ*s = μμ°s und μ'*s = μ'μ'°s. Damit ist dann μμ°s = μ'μ'°s.
Also gilt fur alle s < AuSL(μ
°) = AuSL(μ'°), dass μμ°s = μ'μ'°s und damit nach Postulat
1-2-(i), dass μ
° = rμμo°. μμ°AusL(μ°)-Γ = rμ'μ'0°. μ'μ'0AusL(μ'°)-Γ = μ'°. Damit gilt a) fur i = °.
Sodann gilt bei i = ° fur alle j ≤ i, dass j = i = ° und damit gilt in diesem Fall auch b).

sei nun ° < i. Aus der Annahme, dass AusL(μj) = AusL(μ'j) fur alle j ≤ i, ergibt sich:
n = 0 AUSL(μn) = n = 0 AUSL(μ'n). Sodann gilt mit Postulat 1-3: Es gibt t N{°} und
+°, ., μ+t-ι} GAUS, so dass rμ0...μi71 = rμ+0...μ+t-ι^l und t = in = 0 AUSL(μn) und
fur alle
st: μ+s = μμ°s, falls s < AuSL(μ°), und μ+s = μμl°r° fur die eindeutig bestimmten
l°, r°, fur die ° < l° < i+1, r° < AUSL(μ
ι°) und s = (ln° Z10 AUSL(μn))+r°, falls AUSL(μ°)
≤ s, und es gibt t'
N{°} und {μ'+°, ., μ'+t∙-ι} GAUS, so dass rμ'°.μ'iπ =
rμ'+°. μ'+t'-ι^l und t' = n = 0 AUSL(μ'n) und fur alle s < t': μ'+s = μ'μ'°s, falls s < AUSL(μ'°),
und μ'
+s = μ'μ'lr'° fur die eindeutig bestimmten l'°, r'°, fur die ° < l'° < i+1, r'° <
AUSL(μ'
l) und s = (n°-0 AUSL(μ'n))+r'°, falls AUSL(μ'°) ≤ s. Dann ist t =
n = 0 AUSL(μn) = n = 0 AUSL(μ'n) = t'. Wegen n = 0 AUSL(μn) ≤ n-=10 AUSL(μn)
gilt zudem t ≤ m = m'.

Sei nun s < t. Dann ist s < t' und s < m = m'. Sodann ist s < AUSL(μ°) oder AUSL(μ°) ≤
s. Sei nun s < AUSL(μ
°). Wegen ° < i ist dann nach Annahme AUSL(μ°) = AUSL(μ'°)
und damit auch s < AUSL(μ'
°). Dann ist μ*s = μμ°s = μ+s und μ'*s = μ'μ'°s = μ'+s. Wegen μ*s
= μ'*s ist damit μ+s = μ'+s. Sei nun AUSL(μ°) = AUSL(μ'°) ≤ s. Dann gilt:

μ*s = μμlr fur die eindeutig bestimmten l, r, fur die ° < l k, r < AUSL(μl) und s =
(
n-=1 0 AUSL(μn))+r,
und

μ'*s = μ'μ'l'r' fur die eindeutig bestimmten l', r', fur die ° < l' < k', r' < AUSL(μ'l') und s =
(
n-=10 AUSL(μ'n))+r',
und



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